Законы распределения и параметры случайного процесса

Случайные сигналы и случайные процессы

СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СП.

Все реальные сигналы имеют случайный характер. Вследствие этого получателю заранее не известно, каким был передаваемый сигнал. Тем не менее, приемная сторона располагает предварительными (априорными) сведениями о сигнале: частота, на которой ведется передача, ансамбль возможных сигналов, язык или алфавит передачи, вероятности тех или иных сигналов из общего ансамбля. Предварительные сведения о сигналах носят статистический характер, а элементы канала передачи информации под действием различных факторов случайно изменяют свои параметры. Поэтому при анализе сигналов и каналов целесообразно применять статистические методы.

Случайные сигналы не могут быть заданы такими параметрами как амплитуда, частота, начальная фаза. Эти параметры – случайны. При использовании статистических или вероятностных методов можно получить неслучайные характеристики сигналов, например, спектры, идентифицировать их, классифицировать сигналы по их общим свойствам.

Процесс, описанием которого является случайная функция времени, называется случайным процессом. Иногда вместо этого термина применяют термин «стохастический процесс».

Конкретный вид, который принимает случайный процесс (СП) в результате опыта, называется реализацией СП. Совокупность реализаций, для которых задана вероятностная мера, называется ансамблем реализаций СП. Для дискретных источников, характеризующихся конечным числом реализаций n, можно записать , где Р_i – вероятность i -ой реализации.

Одной из важнейших характеристик СП является функция распределения процесса, которая определяется как вероятность того, что значения процесса х меньше некоторой величины: F (x) = P (х < Х).

Изобразим совокупность реализаций СП (рис. 14). Каждая реализация СП может считаться случайным сигналом.

Отсчеты СП в момент времени t ₁, t ₂,…, t_i называются сечениями процесса. Функция распределения F (x_i, t_i), полученная для одного сечения, называется одномерной.

Рис. 14

График одномерной функции распределения F (x) для сечений в моменты t ₁, t ₂, t ₃ (рис. 14) показан на (рис. 15, а):

1) СП с большим размахом (сечение х ₁),

2) СП с малым размахом (х ₂),

3) СП с нулевым размахом (х ₃).

Первая производная от функции распределения F (x) называется плотностью распределения (плотностью вероятности, плотностью распределения вероятности) СП или дифференциальным законом распределения СП: и может определяться как предел, к которому стремится вероятность попадания СП в некоторый интервал D x при D x ®0: .

Рис. 15

F (x) в этом случае может называться интегральным законом распределения: . Очевидно, что площадь, лежащая под кривой f (x) всегда равна единице: – вероятность достоверного события (условие нормировки).

Рассмотрим теперь некоторые числовые характеристики СП – моменты. Начальные моменты – моменты, усредняющие параметры СП, отсчитанные от «начала» СП, от нулевого значения оси абсцисс. Центральные – относительно центра процесса, от линии параллельной оси абсцисс, от некоторой «середины» процесса. Порядок момента определяется степенью, в которую возводится усредняемая величина. Чаще других используются моменты:

1. Начальный момент первого порядка – среднее значение СП:

– для дискретных, усредняемых по множеству равновероятных величин – среднее арифметическое;

– для дискретных неравновероятных величин – математическое ожидание; P_i – вероятность отсчета значения СП величиной x_i;

– математическое ожидание для непрерывных величин (усреднение по множеству), где f (x) – плотность вероятностей значений СП;

– среднее значение непрерывного сигнала х (t), полученное при усреднении одной реализации СП по времени за промежуток Т, постоянная составляющая сигнала.

Разность между случайным процессом и его математическим ожиданием называют центрированным процессом: .

2. Центральный момент второго порядка D – дисперсия СП.

По аналогии с предыдущим,

; ;

; ; .

D – мощность переменной составляющей СП. s называется средним квадратическим отклонением и является одной из важнейших характеристик СП, говорящей о «разбросе» значений СП относительно среднего значения.

3. Средний квадрат – это начальный момент второго порядка, математическое ожидание квадрата самого (не центрированного) случайного процесса:

,

поскольку

Если стационарный эргодический процесс X (t) является напряжением или током в нагрузке сопротивлением 1 Ом, то является полной средней мощностью процесса, – мощностью постоянной составляющей, – мощностью переменной составляющей.

4. Смешанный (он может быть и начальным и центральным) момент второго порядка – корреляционная функция, которая определяется как математическое ожидание произведения сдвинутых во времени на t сечений СП:

, где t = t ₁– t ₂,

– при усреднении по множеству, и при усреднении по времени:

.

Здесь – двумерная плотность вероятностей (для двух сечений СП).

Дата добавления: 2014-11-16