Пример 4

Пример 2.

Пример 1.

Упражнения

Комментарий. Здесь была использована теорема о пределе суммы.

Комментарий. На первом шаге была применена теорема о пределе частного, так как предел знаменателя не равен нулю. На втором шаге использовалась теорема о пределе суммы для числителя и знаменателя дроби. После была применена теорема о пределе произведения.

Пример 3. Найти предел

Знаменатель и числитель дроби при x стремящемся к 2 стремятся к нулю, поэтому теорема о пределе частного здесь неприменима. В таких случаях нужно попытаться упростить дробь. Имеем

Это преобразование справедливо при всех значениях x, отличных от 2, поэтому в соответствии с определением предела можем написать

Комментарий. Использован первый замечательный предел.

Пример 5.Вычислить пределы функций:

а) .

Решение:

В данном случае имеем неопределённость вида . Для её раскрытия используем следующее известное свойство.

Пусть дана дробно-рациональная функция , где некоторые многочлены. Тогда:

1. Если степень многочлена больше степени многочлена , то .

2. Если степень многочлена меньше степени многочлена , то .

3. Если степень многочлена равна степени многочлена , то , где числовые коэффициенты при наивысших степенях в данных многочленах.

Или делим числитель и знаменатель дроби на «старшую» степень переменной х

В данном случае степени числителя и знаменателя равны двум, поэтому .

б). .

Решение:

В данном случае снова имеем неопределённость вида . Для её раскрытия используем то же известное свойство, что и в предыдущем случае. Степень числителя равна двум, а степень знаменателя – трём. Поэтому .

в). .

Решение:

В данном случае снова имеем неопределённость вида . Чтобы раскрыть её, преобразуем данную функцию, предварительно разложив на множители числитель и знаменатель: .

г). .

Решение:

В данном случае имеем неопределённость вида . Чтобы раскрыть её, домножим данную дробь на дробь, сопряжённую её знаменателю:

.

Дата добавления: 2014-11-16