Плоскопараллельным (плоским) называется такое движение твёрдого тела, при котором все его точки перемещаются параллельно некоторой фиксированной плоскости.
Плоские движения совершают многие части механизмов и машин, например:
1) катящееся колесо на прямолинейном участке пути:
А
2) шатун АВ в кривошипно- шатунном механизме О В
3) звено АВ в спарнике А В
О1 О2
Частным случаем плоскопараллельного движения является вращательное движение твёрдого тела вокруг неподвижной оси.
Рассмотрим сечение S тела плоскостью OXY, параллельной неподвижной плоскости П (рисунок 3.1). При плоскопараллельном движении все точки тела, лежащие на прямой АВ, перпендикулярной сечению S, т.е. плоскости П, движутся тождественно.
А У
S
О Х
П
В
Рисунок 3.1
Таким образом, для изучения движения всего тела достаточно изучить движение плоской фигуры S, поэтому в дальнейшем вместо плоского движения тела будем рассматривать движение плоской фигуры S в её плоскости, т.е в плоскости ОХУ.
Положение плоской фигуры S в плоскости OXY определяется положением какого-нибудь проведённого на этой фигуре отрезка АВ (рисунок 3.2), а положение этого отрезка можно определить, зная координаты XA и YA точки А и угол j, который отрезок АВ образует с осью Х. Точку А, выбранную для определения положения фигуры S, называют полюсом.
yА
O xА x
Рисунок 3.2
При движении фигуры величины ХА, УА, j будут изменяться. Чтобы знать закон движения фигуры S, т.е. её положение в любой момент времени в плоскости ОХУ, надо знать зависимости:
xА=f1(t); yА=f2(t); j=f3(t). (3.1)
Уравнения (3.1) являются уравнениями движения плоской фигуры в её плоскости или уравнениями плоскопараллельного движения тела.
3.2 Разложение плоского движения твёрдого тела на простые.
Кинематические характеристики
Рассмотрим движение плоской фигуры (рисунок 3.3); например два её положения – I и II, определяемые положениями отрезка АВ.
Перемещение плоской фигуры из I в II можно заменить двумя простыми плоскими перемещениями - поступательным и вращательным, которые можно выполнять по отдельности или одновременно.
y В2 В1
1 2
А А1
I II
0 x
Рисунок 3.3
Таким образом, плоскопараллельное движение фигуры представляет собой совокупность двух движений, происходящих одновременно: поступательного движения всех точек фигуры вместе с полюсом (например: точка А) и вращательного движения всех точек фигуры вокруг полюса.
Исходя из уравнения (3.1) кинематическими характеристиками плоского движения являются скорость и ускорение поступательного движения, равные скорости и ускорению полюса (), а также угловая скорость w и угловое ускорение x вращательного движения вокруг полюса.
Если за полюс выбрать любую другую точку фигуры, то кинематические характеристики поступательного движения изменяются, а кинематические характеристики вращательного движения останутся неизменными, т.е. вращательная часть плоского движения от выбора полюса не зависит.
3.3 Векторная формула для вычисления скоростей точек плоской фигуры
В п. 3.2 было показано, что движение плоской фигуры можно рассматривать как слагающееся из поступательного движения, при котором все точки фигуры движутся со скоростью полюса – Va и из вращательного движения всех точек фигуры вокруг этого полюса.
Покажем, что скорость любой точки В плоской фигуры складывается геометрически из скоростей, которые точка приобретает в каждом из этих движений.
Рассмотрим плоскую фигуру, свяжем радиусами-векторами точки А и В этой фигуры с осями ОХУ:
y
В
VA
У1
rB w
rA
Рисунок 3.4
– радиус-вектор полюса А;
– радиус-вектор произвольной точки В.
– вектор, определяющий положение точки В относительно осей AX1Y1, перемещающихся вместе с полюсом А поступательно. , т.к. фигура твёрдая, тогда , продифференцировав по времени, получим
или , (3.2)
где – это скорость, которую приобретает точка В при вращении фигуры вокруг полюса А, поэтому
VВА=wAB, (3.2 /)
, где w – угловая скорость фигуры.
Таким образом, скорость произвольной точки В плоской фигуры геометрически складывается из скорости какой-либо другой точки А, принятой за полюс, и скорости, которую точка В получает при вращении фигуры вокруг этого полюса; т.е.
. (3.3)
В выражении (3.2) присутствуют кинематические характеристики как поступательного, так и вращательного движений, что ещё раз подчеркивает, что плоское движение – это сложное движение, являющееся совокупностью поступательного и вращательного движений.
Модуль и направление определяются построением соответствующего параллелограмма (рисунок 3.5).
Рассмотрим, например, колесо, катящееся по прямолинейному отрезку пути без скольжения; центр колеса точка С имеет скорость . Выберем две произвольные точки В и D на ободе колеса и, используя выражение (3.3), запишем их скорости:
Рисунок 3.5
; ;
. (3.4)
Чтобы вычислить численные значения скоростей точек В и D, используют теорему косинусов, для чего необходимо знать углы между векторами и ; и .
3.4 Векторная формула для вычисления ускорения точек плоской фигуры
Покажем, что ускорение любой точки В плоской фигуры (так же как и скорость) складывается из ускорений, которые точка получает при поступательном и вращательном движениях этой фигуры.
Рассмотрим плоскую фигуру с полюсом в точке А.
Рисунок 3.6
Продифференцируем дважды по времени (3.2) и получим:
или (3.5)
или ,
где ; ; (3.6)
или (3.5 /)
Таким образом, ускорение произвольной точки плоской фигуры В геометрически складывается из ускорения полюса и ускорения, которое точка В получает при вращении фигуры вокруг этого полюса.
Модуль и ускорение находятся построением соответствующего параллелограмма (рисунок 3.6).
Однако вычисление с помощью параллелограмма изображённого на рисунке 3.6, осложняется нахождением угла φ между векторами и , поэтому удобнее заменять его касательной () и нормальной () составляющими, (3.6).
Следует отметить, что совпадает по направлению с x и , а и направлен от точки В к точке А, величины их вычисляются по формулам:
=АВx; =АВw2. См. рисунок 3.7.
Если полюс А движется не прямолинейно, то его ускорение можно тоже представить как сумму касательной и нормальной составляющей, тогда можно записать:
(3.7)
Формулы 3.5–3.7 обычно используют при решении задач.
А
Рисунок 3.7
3.5 Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного
центра скоростей (М.Ц.С)
Другой более простой и наглядный метод определения скоростей точек тела при плоском движении основан на понятии о мгновенном центре скоростей.
М.ц.с- это такая точка в плоскости плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю. Обозначают её Р. В данный момент времени это единственная точка, скорость, которой равна нулю.
Способы определения м.ц.с:
1) если плоскопараллельное движение осуществляется путём качения без скольжения цилиндрического тела по какой-либо неподвижной поверхности, то точка соприкосновения катящегося тела с поверхностью имеет скорость, равную нулю, следовательно, является м.ц.с. Примером служит качение колеса по рельсу.
Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2025) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав!Последнее добавление