Епюр Монжа

Рекомендовано до видання Вченою радою Вінницького національного технічного університету Міністерства освіти і науки України (протокол № 11 від 24 квітня 2008 р.)

В. М. Кичак, доктор технічних наук, професор

С. М. Злепко, доктор технічних наук, професор

А. В. Спірін, кандидат технічних наук, доцент

Кормановський, С. І.
К 66	Конспект лекцій з інженерної графіки. Конспект лекцій.
	/ С. І. Кормановський. – Вінниця: ВНТУ, 2009. – 116 с.


В конспекті розглянуті основні теоретичні положення курсу, викладені методи побудови зображень геометричних образів на площині. Наведені приклади розв’язання позиційних і метричних задач. Конспект підготовлено для студентів напрямів інженерії: “Радіотехніка”, “Радіоелектронні апарати”, “Телекомунікації”.
УДК 515.2

Умовні позначення. Найбільш поширені символи
Вступ……………………………………………………………………...
1 Метод і елементи проекціювання. Точка……………
1.1 Епюр Монжа …………………………………………………………..
1.2 Проекціювання точки на три площини проекцій …………………..
1.3 Конкуруючі точки …………………………………………………….
2 ПРЯМА…………………………………………………………………...
2.1 Пряма загального положення ………………………………………..
2.2 Прямі окремого положення ………………………………………….
2.2.1 Прямі рівня ………………………………………………………...
2.2.2 Проекціювальні прямі …………………………………………….
2.3 Визначення натуральної величини відрізка прямої загального положення методом прямокутного трикутника ……………………
2.4 Сліди прямої ………………………………………………………….
2.5 Взаємне положення прямих …………………………………………
3 Площина……………………………………………………………..
3.1 Площини загального положення …………………………………….
3.2 Площини окремого положення ……………………………………....
3.2.1 Площини рівня …………………………………………………….
3.2.2Проекціювальні площини …………………………………………
4 Позиційні задачі…………………………………………………..
4.1 Точка і пряма що належать площині ……………………………….
4.2 Прямі рівня площини загального положення ………………………
4.3 Перетин прямої з площиною загального положення. Перша позиційна задача ……………………………………………………..
4.4 Пряма перпендикулярна до площини ……………………………….
4.5 Пряма паралельна площині …………………………………………..
4.6 Перетин двох площин. Друга позиційна задача …………………….
4.7 Взаємно-перпендикулярні площини ………………………………...
4.8 Паралельність двох площин ………………………………………….
4.9 Багатогранники ………………………………………………………..
5 Метричні задачі……………………………………………………
5.1 Заміна площин проекцій ……………………………………………...
5.2 Плоско-паралельне переміщення …………………………………….
5.3 Спосіб обертання навколо осі, перпендикулярної до площини проекції ……………………………………………………………....
6 Криві поверхні……………………………………………………..
6.1 Лінійчаті розгортні поверхні …………………………………….......
6.1.1 Циліндрична поверхня …………………………………………….
6.1.2 Конічна поверхня ………………………………………………….
6.1.3 Поверхня з ребром звороту ……………………………………….
6.2 Лінійчаті нерозгортні поверхні. Поверхні з двома напрямними лініями ………………………………………………………………….
6.2.1 Гіперболічний параболоїд ………………………………………...
6.2.2 Коноїд ………………………………………………………………
6.2.3 Циліндроїд ………………………………………………………….
6.3 Гвинтові поверхні ……………………………………………………...
6.4 Криволінійчаті поверхні ……………………………………………..
6.4.1 Поверхні обертання ……………………………………………….
6.5 Точка і лінія на кривій поверхні ……………………………………...
6.6 Переріз поверхні площиною ………………………………………….
6.6.1 Переріз поверхні проекціювальною площиною …………………
6.6.2 Переріз поверхні площиною загального положення ……………
6.7 Перетин прямої лінії з поверхнею (Проникнення) ………………….
6.8 Перетин поверхонь ……………………………………………………
6.8.1 Метод допоміжних січних площин ………………………………
6.8.2 Перетин поверхонь, що мають спільну вісь обертання …………
6.8.3 Метод концентричних сфер ………………………………………
6.8.4 Теорема Монжа ……………………………………………………
7 Комп’ютерна графіка…………………………………………...
7.1Розрахунково-графічні завдання ……………………………………
Список літератури………………………………………………….
Українсько-російсько-англійський словник НАЙБІЛЬШ УЖИВАНИХ термінів…………………………………
Додаток А ……………………………………………………………………
Додаток Б ……………………………………………………………………
Додаток В ……………………………………………………………………
Додаток Г ……………………………………………………………………
Додаток Д ……………………………………………………………………

Геометричні об’єкти	Символи, знаки
Точки у просторі Проекції точок: горизонтальні фронтальні профільні	A, B, C, D, E, F, H,... A₁, B₁, C₁,... A₂, B₂, C₂,... A₃, B₃, C₃,...
Прямі і криві лінії Проекції прямих, кривих ліній: горизонтальні фронтальні профільні	a, b, c, d, e, f, g, h,... a₁, b₁, c₁,... a₂, b₂, c₂,... a₃, b₃, c₃,...
Прямі рівня: горизонтальна (горизонталь) фронтальна (фронталь) профільна	h f р
Сліди площин: горизонтальний фронтальний профільний
Площини, поверхні	a, b, d, g…, , , , ,...
Плоскі кути	, , ,...
Довжина відрізка
Основні площини проекцій: горизонтальна площина проекцій фронтальна площина проекцій профільна площина проекцій додаткові площини проекцій система площин проекцій	П₁ П₂ П₃ П₄, П₅, П₆,... П₁/П₄
Система координат Початок координат Осі проекцій: вісь абсцис вісь ординат вісь аплікат	Оxyz О Ox, Oy, Oz
натуральна величина	н.в.

êê	паралельність
	перпендикулярність
	перетин чи переріз
◦	мимобіжість
=	результат графічної дії
º	збігається, конкурує
Î,	належить, є елементом
	проходить, містить в собі
Þ	випливає, якщо…, то…
	квантор спільності

Інженерна графіка, Engineering graphic arts – це дисципліна, яка складається з двох дисциплін: нарисної геометрії та технічного креслення.

Нарисна геометрія, Descriptive geometry – розділ геометрії, в якому просторові фігури вивчають за допомогою зображень їхніх графічних моделей на площині креслення.

Предмет нарисної геометрії – це розробка методів побудови та читання креслень, розв’язання на кресленнях геометричних задач, розробка методів геометричного моделювання, тобто створення проекцій об’єкта, який відповідав би наперед заданим геометричним та іншим вимогам, а також побудова зображень предметів та об’єктів деякої конкретної галузі інженерної діяльності. Формоутворюючими елементами простору є основні геометричні фігури – точка, пряма та площина, з яких утворюються складніші фігури.

Нарисна геометрія – одна з дисциплін, що складає основу інженерного утворення. Ця дисципліна дає можливість графічно обґрунтувати способи побудови зображень просторових фігур, деталей форм на плоскому кресленні і за даними зображеннями цих форм на плоскому кресленні розпізнати просторову фігуру, а також розв’язувати графічно задачі геометричного характеру.

Вивчення нарисної геометрії сприяє розвитку просторової уяви, яка необхідна інженеру будь-якої спеціальності для глибокого розуміння технічного креслення, для створення й розробки нових конструкцій.

Засновником нарисної геометрії є французький геометр Гаспар Монж (1746-1818). В 1799 р. з’явилася його знаменита книга “Geometrie descriptive” (“Нарисна геометрія”). У цій геометрії окремі прямокутні проекції на вертикальні та горизонтальні площини були зведені в єдину систему. Ця книга виникла як аналог координатного способу Декарта при розв’язанні геометричних задач.

Перший курс нарисної геометрії в Росії було прочитано в 1810 р. в інституті (корпусі) інженерів шляхів сполучення учнем Г. Монжа інженером К. І. Потье. У 1821 р. професор Я. О. Севастьянов (1796-1849) написав та видав перший російський підручник з нарисної геометрії з великою кількістю задач прикладного характеру.

Заслужений діяч науки і техніки України, доктор технічних наук, професор С. М. Колотов є засновником української школи в галузі теорії зображень. В 1933 р. він видав підручник «Начертательная геометрия», в якому вперше було показано новий оригінальний метод допоміжного проекціювання, що відіграв помітну роль у розвитку теорії зображень. Його роботи вплинули як на наукові дослідження, так і на зміст навчальних курсів.

Побудова зображень у нарисній геометрії основана на методі проекцій.

Проекція – це зображення предмета, “відкинуте” на площину за допомогою променів. Спроекціювати предмет на площину – це значить побудувати його зображення на площині.

Елементи проекціювання: S – центр проекції; А – точка в просторі, об’єкт проекціювання; П₁ – площина проекції; А₁ – проекція точки A;

Проекціювання може бути центральним і паралельним.

Якщо проекціювальні промені виходять з однієї точки, таке проекціювання називається центральним. Суть центрального проекціювання полягає в тому, що із центра проекції точки S через кожну точку A, B, C і т.д. будь-якого просторового об'єкта проходить промінь, що називається проекціювальним. Цей промінь, перетинаючи площину проекцій П₁, дає проекцію даної точки. На площині проекцій кожній точці A, B, C і т.д. просторового об'єкта буде відповідати тільки одна точка A1, B 1, C 1 і т.д. Сукупність усіх проекцій цих точок і дає проекцію даного об'єкта на площині креслення (рис. 1.2).


Рисунок 1.1	Рисунок 1.2

Якщо проекціювальні промені паралельні між собою, таке проекціювання називається паралельним (рис. 1.3).

Якщо проекціювальні промені не перпендикулярні до площини проекцій, проекціювання називається косокутним чи похилим (рис. 1.3). В тому випадку, коли проекціювальні промені перпендикулярні до площини проекцій – прямокутним або ортогональним (рис. 1.4).

Надалі буде використовуватися тільки паралельне, ортогональне проекціювання.


Рисунок 1.3	Рисунок 1.4

Будь-яке креслення повинне бути оборотним. Пряма задача – будь-яку точку, що знаходиться в просторі, завжди можна cпроекціювати на площину проекції й одержати проекцію цієї точки. Обернена задача – за проекцією точки необхідно визначити її положення в просторі. Якщо дана тільки одна площина проекції, то одній проекції точки в просторі відповідає нескінченна кількість точок. Виходить, одна проекція не визначає положення об'єкта в просторі. Отже, щоб зробити креслення оборотним, потрібні дві проекції точки.

На рисунку 1.5 зображено проекції точки A на двох площинах проекцій: П₁ – горизонтальна площина проекцій;

П₂ – фронтальна площина проекцій, причому П₁ ^ П₂; промені, що проходять через точку А, перпендикулярні до відповідних площин проекцій;

Якщо горизонтальну площину проекцій П₁ повернути навколо осі Оx до суміщення в одну площину з площиною П₂, то таке розгорнуте зображення називають епюром (рис. 1.6).

Метод ортогонального проекціювання на дві площини проекцій був запропонований французьким ученим Гаспаром Монжем, тому метод названий методом Монжа, а отриманий епюр – епюром Монжа.

1.2 Проекціювання точки на три площини проекцій

Сукупність двох прямокутних проекцій на дві взаємно перпендикулярні площини дозволяє однозначно визначити форму і положення предмета у просторі. Однак в кресленні при побудові зображень часто використовують три площини проекцій.

Нехай задані три взаємно перпендикулярні площини проекцій, які утворюють прямий тригранний кут (рис. 1.7): П₁ – горизонтальна, П₂ – фронтальна і П₃ профільна площини проекцій; лінії Ох, Оу, Оz взаємного перетину площин проекцій – осі проекцій, а точка О – початок координат. В просторі задана точка А і потрібно побудувати її проекції на площини П₁, П₂ і П₃. Для цього із точки А проводять проекціювальні промені АА₁, АА₂, АА₃, перпендикулярні до площин проекцій, до перетину з ними. В результаті перетину отримують А₁ – горизонтальну, А₂ – фронтальну і А₃ – профільну проекції точки А.

Використовувати таку просторову модель на плоскому кресленні незручно. Тому виконується розгортка площин проекцій. Якщо площини проекцій П₁ і П₃ повернути відповідно навколо осей Ох і Оz в напрямку, вказаному стрілками, до суміщення з площиною проекцій П₂, то отримаємо епюр, який містить у собі три проекції точки (рис. 1.8).

Часто положення точки в просторі задається її координатами. Координати точки у просторі записують А (х, у, z). Відстань від точки А до площини проекції П₁ визначається координатою z, до площини проекції П₂ – координатою у, до площини проекції П₃ – координатою х. Для побудови горизонтальної проекції точки необхідно знати координати Х_А і У_А. Побудова фронтальної проекції точки ведеться за координатами Х_А і Z_A, профільної проекції точки – за координатами У_А і Z_A (рис. 1.8). Координати проекцій точок записують: А₁ (х, у) – горизонтальна проекція точки А, А₂ (х, z) – фронтальна проекція точки А, А₃ (у, z) – профільна проекція точки А.

Якщо одна з координат точки дорівнює нулю, то точка належить одній з площин проекції.

Пряма А₁А₂ називається вертикальною лінією зв’язку, А₂А₃ – горизонтальною лінією зв’язку (рис. 1.8).


Рисунок 1.7	Рисунок 1.8

Точки, які розташовані на одному проекціювальному промені називаються конкуруючими. За допомогою конкуруючих точок визначається видимість геометричних фігур.

На рисунку 1.9 показано дві пари конкуруючих точок А і В, С і D. Точки А і В конкурують (збігаються) на П₁, точка В невидима. Точки С і D конкурують на П₂, точка D невидима. В дужках на епюрі зображають невидимі точки.

1. Який метод лежить в основі нарисної геометрії?

3. Як визначається видимість конкуруючих точок?