Дробно-рациональные функции

Интегралы вида , где , — многочлены степени n и m, соответственно, интегрируются в следующем порядке.

Если n > m, то делением числителя на знаменатель "уголком" необходимо выделить целую часть. Оставшаяся часть будет правильной дробью. Интеграл от целой части выражается через табличные интегралы от степенной функции. Для интегрирования правильной дроби необходимо знаменатель разложить на множители, т. е. представить в виде

,

причем . После этого правильную дробь нужно разложить на сумму простейших дробей:

.

Коэффициенты определяются после приведения правой части разложения к общему знаменателю и приравнивания коэффициентов при соответствующих степенях у многочлена, полученного в числителе, и многочлена Т_к(х).

Таким образом, интегрирование правильной дроби сводится к интегрированию простейших дробей.

Пример 4.1.15. .

Решение. Подынтегральная функция является неправильной дробью, т. к. степень числителя равна степени знаменателя. Выделим целую часть неправильной дроби:

Разложим правильную дробь на простейшие

.

Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях у многочленов в числителях дробей слева и справа, получаем систему для определения неизвестных постоянных:

Таким образом, получено разложение

Теперь интеграл представляется в виде суммы интегралов

.

Дата добавления: 2014-11-20