Тема 3.2. Экстремум функции

Учебники: [16], [17].

Аудиторная работа: [3, №№ 3259, 3292].

Самостоятельная работа: [3, №№ 3260, 3293].

Точка М₀ называется точкой локального максимума (минимума), если значение функции в этой точке будет наибольшим (наименьшим) из окрестности точки М₀. Необходимое условие существования локального экстремума: , или .

Сформулируем достаточное условие для функции двух переменных. Введем обозначения: ; ; .

Если D = AC – В² > 0, то в точке М₀ – локальный экстремум, причем, если А > 0 – локальный минимум, а если А < 0 – локальный максимум.

Для функций многих переменных, т. е. 3,4,…,n, достаточным условием будет условие знакопостоянства второго дифференциала.

Второй дифференциал представляет собой квадратичную форму, а условие знакопостоянства квадратичной формы дает критерий Сильвестра.

Если d²f > 0, то в точке М₀ – локальный минимум, если d²f < 0 ‑ локальный максимум.

Функция u = f(р) имеет условный максимум (минимум) в точке Р₀, если существует такая окрестность точки Р₀, для всех точек Р которой , удовлетворяющих уравнениям связи

выполняется неравенство .

Задача нахождения условного экстремума сводится к исследованию на обычный экстремум функции Лагранжа.

.

Пример 3.2.1. Найти точки экстремума функции

.

Решение. Из необходимого условия экстремума найдем точки, подозрительные на экстремум:

Отсюда , , ^.

Проверим для точки , достаточное условие. Для этого найдем вторые производные:

;

;

;

Экстремум есть и т. к. А > 0, то это — локальный минимум.

Ответ. В точке локальный минимум .

Пример 3.2.2. Найти экстремум функции при условии

.

Решение. Для нахождения условного экстремума составим функцию Лагранжа:

.

Удовлетворим необходимому условию существования экстремума.

,

,

,

Разрешая эту систему, получаем ; ; ; .

Так как ; ; ,

то

1. — локальный минимум;

2. — локальный максимум.

Следовательно, в точках , , — min, а в точках , , локальный максимум.

Тема 3.3. Геометрические приложения функций
нескольких переменных

Учебники: [16], [17].

Аудиторная работа: [3, №№ 3412, 3416].

Самостоятельная работа: [3, №№ 3414, 3417].

Уравнение касательной плоскости, в случае явного задания поверхности, т. е. z = z(x,y) в точке М₀(х₀,у₀) записывается

.

Если поверхность задана в неявном виде F(x,y,z), то нормаль к касательной плоскости имеет вид

Прямая называется нормальной к поверхности в точке, если она проходит через эту точку и перпендикулярна к касательной плоскости, проходящей через эту же точку.

В случае явного задания поверхности нормальная прямая имеет вид

В случае неявного задания поверхности

Пример 3.3.1. Написать уравнение касательной плоскости и нормальной прямой к поверхности х⁴у + 2х²у³ + xyz² +e^z =3 в точке M₀(l,l,0).

Решение. Уравнение поверхности задано в неявном виде F(x,y,z) = х⁴у + 2х²у³ + xyz² + e^z – 3 = 0. Найдем нормаль к касательной плоскости: .

Найдем частные производные от функции F в точке М₀:

,

,

,

тогда и уравнение плоскости в точке М₀ запишется

8(х – l) + 7(y – 1) + z = 0, или 8х + 7у + z = 15.

Уравнение нормальной прямой к поверхности в точке М₀

.

Дата добавления: 2014-11-20