Общий метод замены переменной

Метод внесения под знак дифференциала

Пусть в подынтегральное выражение входит множителем некоторая функция , тогда и, если оставшийся множитель тоже за-

висит от f(x), то исходный интеграл можно упростить, выполнив замену переменной интегрирования по формуле f(х) = t:

Такое преобразование называется внесением под знак дифференциала. Заметим, что для реализации этого приема необходимо, чтобы один из множителей подынтегральной функции имел табличную первообразную, которая и записывается под знак дифференциала. В то же время оставшаяся функция должна быть сложной функцией от этой первообразной.

Пример 4.1.8. .

Решение. Так как , то интеграл равен

.

Пример 4.1.9. .

Решение. Так как , то интеграл можно записать в виде

В некоторых интегралах подынтегральную функцию удается упростить, если ввести новую переменную интегрирования согласно формуле x = g(t):

Особенностью такого подхода, по сравнению с методом внесения под знак дифференциала, является то, что правильный выбор функции g(t) зависит здесь от искусства вычисляющего, либо предписан теорией.

Пример 4.1.10. .

Решение. Замена переменной интегрирования выбирается, исходя из необходимости избавления от выражения .

.

Пример 4.1.11. .

Решение. От иррациональности под знаком интеграла можно избавиться путем замены х = sin t. Это следует из основного тригонометрического тождества .

.

Дата добавления: 2014-11-20