Пример 4.3.2

Пример 4.3.1.

.

Следовательно, интеграл сходится и равен π/2.

В тех случаях, когда интеграл ∫f(x)dx не выражается в элементарных функциях, воспользоваться определением несобственного интеграла не представляется возможным. Тогда сходимость несобственного интеграла выясняется косвенно при помощи достаточных признаков сходимости.

Заметим, что условие является необходимым, но не достаточным признаком сходимости интеграла . Это означает, что, если сходится, то . Обратное утверждение неверно. Это видно из следующего примера.

, следовательно, интеграл расходится, хотя и .

При оценке сходимости несобственного интеграла первого рода ис­пользуют следующие признаки сравнения.

Теорема. Пусть f(x), g(x) определены на интервале [а,∞) и для любого А>а интегрируемы на сегменте [a,A]. Пусть , тогда из сходимости следует сходимость , а из расходимости - расходимость .

Теорема. Пусть f(x), g(x) определены на интервале [а,∞) и для любого f(x) А>а интегрируемы на сегменте [а, А]. Если , то интегралы и ведут себя одинаково в смысле сходимости.

Пример 4.3.3. Исследовать сходимость .

Решение. На интервале [1,∞) .

Поэтому для всех xє[1,∞). Так как , то интеграл сходится, и, следовательно, по первому признаку сравнению сходится интеграл .

Заметим, что в качестве модельного интеграла, с которым производит­ся сравнение, обычно используется интеграл

Дата добавления: 2014-11-20