Контрольной работы № 3

Дополнение 5.1. Образец выполнения и оформления

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте теорему существования и единственности решения диф­ференциального уравнения первого порядка.

2. Приведите примеры из классов уравнений первого порядка, интегрируе­мых в квадратурах.

3. Какие уравнения высших порядков допускают понижение?

4. В чем состоит метод вариации постоянных для линейного уравнения вто­рого порядка? Приведите пример.

5. Приведите пример решения дифференциальных уравнений нахождения интегрируемых комбинаций.

6. Сформулируйте теорему существования и единственности решения сис­темы уравнений первого порядка.

7. В каком виде ищут частные решения неоднородного уравнения, если его

правая часть имеет следующий вид: а) е^2х, б) sin√3x, в) 2х-1, г) x²+cosx.

После изучения 3, 4, 5 разделов студент должен выполнить контроль­ную работу № 3.

"Функции нескольких переменных. Интегрирование функций одной

переменной. Обыкновенные дифференциальные уравнения"

Первые пять заданий контрольной работы № 3, которые относятся к теме "Функции нескольких переменных", подробно рассмотрены в разделе 3, примеры 3.1.1, 3.1.2, 3.2.1, 3.2.2 и 3.3.1.

Примеры решения задач к разделам 4,5

Вычислить интегралы:

1.

Решение. Поделим почленно числитель подынтегральной функции на знаменатель

2.

Решение. Заметим, что подынтегральная функция является неправиль­ной дробью, т. к. степень числителя выше степени знаменателя. Поделим числитель на знаменатель. В результате получим . Разложим правильную дробь на простейшие:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему . Решение системы: А = -1;В = 2. Получим разложение . Тогда

3.

4.

5. .

Универсальной тригонометрической подстановкой вычисление инте­грала от тригонометрической функции свелось к вычислению интеграла от дробно-рациональной функции. Разложим подынтегральную дробь на про­стейшие дроби

,

Таким образом,

;

6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией . Построим кривую (рис.Д.5.1). Область определения ж

при при и ;

7. Исследовать сходимость

.

Решение. На интервале [l,∞) .

Так как , то интеграл сходится, следовательно, по первому признаку сравнения сходится .

8. Решить дифференциальные уравнения первого порядка.

1) (2х³ +3xy²)dx + y³dy = 0.

Решение. Это однородное уравнение. Введем подстановку у=хu(х),

,

, разделим переменные

и проинтегрируем

.

Ответ: .

2) Найти решение уравнения у^’ + ycosx = sinxcosx, удовлетворяющее условию у(0) = 1.

Решение. Это линейное уравнение первого порядка. Сначала рассмот­рим соответствующее однородное уравнение у' + ycosx = 0. Разделим переменные dy/y = -cosxdx и проинтегрируем ln|y| = -sinx + lnС, у = Се^-sinx. Далее методом вариации произвольной постоянной решение исходного уравнения ищем в виде y = φ(x) е^-sinx: φ^’е^-sinx - φе^-sinx cosx + φе^-sinx cosx = cosxsinx, dφ/dx = sinxcosxе^sinx, φ(x) = ∫sinxе^sinx dsinx = ∫ue^udu = ∫ude^u = ue^u - ∫e^udu = e^u(u-1) + C = e^sinx(sinx - 1) +C. Таким образом, общее ре­шение имеет вид y = sinx - l + Ce^-sinx. Удовлетворим условию у(0)= -1 + С = 1, С = 2.

Ответ: y = sinx - l + 2e^-sinx.

9. Решить уравнения второго порядка.

1) yy^” = y^’2.

Решение. Уравнение не содержит явно х, поэтому его порядок пони­жается подстановкой у '=z(y), причем

.

Приравниваем к нулю каждый из сомножителей левой части:

a) z = 0, y^’ = 0, y = C;

б) ,

.

Ответ: y = C₂e^C/x.

2) Найти решение уравнения у"+y = ctgx, удовлетворяющее условиям .

Решение. Рассмотрим соответствующее однородное уравнение у"+у = 0, его характеристическое уравнение х² + 1 = 0, откуда x_1,2 = ±i и общее решение однородного уравнения будет у = С₁sinx + С₂cosч. Далее по методу Лагранжа решение неоднородного уравнения в виде у = φ₁(x)sinx + φ₂(x)cosx, причем функции φ₁(x) и φ₂(x) определяются из системы

;

;

.

Итак, общее решение неоднородного уравнения имеет вид

.

Удовлетворим начальным условиям:

.

Ответ: .

10. Решить систему

Решение. Методом исключения получаем х - 4х - 5х = -4е^-t + 2e^2t,
при этом 2у = – х – е^-t. Соответствующее однородное - 4 - 5х = 0 имеет решение

.

Частное решение неоднородного следует искать в виде x_z = Atе^-t + Bе^2t (-1 - корень характеристического уравнения). Дифференцируя _z = -Atе^-t + Aе^-t + 2Bе^2t, _z = Atе^-t - 2Aе^-t + 4Bе^2t, и подставляя в уравнение, получим

-6Aе^-t – 9Bе^2t = -4е^-t + 2е^2t,

следовательно, A = 2/3, B = -2/9, x_z = 2/3tе^-t – 2/9е^2t.

Тогда

.

Ответ: ,

Раздел 6. Кратные интегралы. Элементы теории векторного поля

Дата добавления: 2014-11-20