Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Контрольной работы № 3




Дополнение 5.1. Образец выполнения и оформления

Вопросы для самопроверки

 

1. Сформулируйте теорему существования и единственности решения диф­ференциального уравнения первого порядка.

2. Приведите примеры из классов уравнений первого порядка, интегрируе­мых в квадратурах.

3. Какие уравнения высших порядков допускают понижение?

4. В чем состоит метод вариации постоянных для линейного уравнения вто­рого порядка? Приведите пример.

5. Приведите пример решения дифференциальных уравнений нахождения интегрируемых комбинаций.

6. Сформулируйте теорему существования и единственности решения сис­темы уравнений первого порядка.

7. В каком виде ищут частные решения неоднородного уравнения, если его

правая часть имеет следующий вид: а) е, б) sin√3x, в) 2х-1, г) x2+cosx.

После изучения 3, 4, 5 разделов студент должен выполнить контроль­ную работу № 3.

 

"Функции нескольких переменных. Интегрирование функций одной

переменной. Обыкновенные дифференциальные уравнения"

Первые пять заданий контрольной работы № 3, которые относятся к теме "Функции нескольких переменных", подробно рассмотрены в разделе 3, примеры 3.1.1, 3.1.2, 3.2.1, 3.2.2 и 3.3.1.

 

Примеры решения задач к разделам 4,5

Вычислить интегралы:

1.

Решение. Поделим почленно числитель подынтегральной функции на знаменатель

2.

Решение. Заметим, что подынтегральная функция является неправиль­ной дробью, т. к. степень числителя выше степени знаменателя. Поделим числитель на знаменатель. В результате получим . Разложим правильную дробь на простейшие:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему . Решение системы: А = -1;В = 2. Получим разложение . Тогда

3.

4.

5. .

Универсальной тригонометрической подстановкой вычисление инте­грала от тригонометрической функции свелось к вычислению интеграла от дробно-рациональной функции. Разложим подынтегральную дробь на про­стейшие дроби

,

Таким образом,

;

6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией . Построим кривую (рис.Д.5.1). Область определения ж

 
 

 


при при и ;

7. Исследовать сходимость

.

Решение. На интервале [l,∞) .

Так как , то интеграл сходится, следовательно, по первому признаку сравнения сходится .

8. Решить дифференциальные уравнения первого порядка.

1) (2х3 +3xy2)dx + y3dy = 0.

Решение. Это однородное уравнение. Введем подстановку у=хu(х),

,

, разделим переменные

и проинтегрируем

.

Ответ: .

2) Найти решение уравнения у + ycosx = sinxcosx, удовлетворяющее условию у(0) = 1.

Решение. Это линейное уравнение первого порядка. Сначала рассмот­рим соответствующее однородное уравнение у' + ycosx = 0. Разделим переменные dy/y = -cosxdx и проинтегрируем ln|y| = -sinx + lnС, у = Се-sinx. Далее методом вариации произвольной постоянной решение исходного уравнения ищем в виде y = φ(x) е-sinx: φе-sinx - φе-sinx cosx + φе-sinx cosx = cosxsinx, dφ/dx = sinxcosxеsinx, φ(x) = ∫sinxеsinx dsinx = ∫ueudu = ∫udeu = ueu - ∫eudu = eu(u-1) + C = esinx(sinx - 1) +C. Таким образом, общее ре­шение имеет вид y = sinx - l + Ce-sinx. Удовлетворим условию у(0)= -1 + С = 1, С = 2.

Ответ: y = sinx - l + 2e-sinx.

9. Решить уравнения второго порядка.

1) yy = y’2.

Решение. Уравнение не содержит явно х, поэтому его порядок пони­жается подстановкой у '=z(y), причем

.

Приравниваем к нулю каждый из сомножителей левой части:

a) z = 0, y= 0, y = C;

б) ,

.

Ответ: y = C2eC/x.

2) Найти решение уравнения у"+y = ctgx, удовлетворяющее условиям .

Решение. Рассмотрим соответствующее однородное уравнение у"+у = 0, его характеристическое уравнение х2 + 1 = 0, откуда x1,2 = ±i и общее решение однородного уравнения будет у = С1sinx + С2cosч. Далее по методу Лагранжа решение неоднородного уравнения в виде у = φ1(x)sinx + φ2(x)cosx, причем функции φ1(x) и φ2(x) определяются из системы

;

;

.

Итак, общее решение неоднородного уравнения имеет вид

.

Удовлетворим начальным условиям:

.

Ответ: .

10. Решить систему

Решение. Методом исключения получаем х - 4х - 5х = -4е-t + 2e2t,
при этом 2у = – х – е-t. Соответствующее однородное - 4 - 5х = 0 имеет решение

.

Частное решение неоднородного следует искать в виде xz = Atе-t + Bе2t (-1 - корень характеристического уравнения). Дифференцируя z = -Atе-t + Aе-t + 2Bе2t, z = Atе-t - 2Aе-t + 4Bе2t, и подставляя в уравнение, получим

-6Aе-t – 9Bе2t = -4е-t + 2е2t,

 

следовательно, A = 2/3, B = -2/9, xz = 2/3tе-t – 2/9е2t.

Тогда

.

Ответ: ,

Раздел 6. Кратные интегралы. Элементы теории векторного поля




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-11-20; Просмотров: 503; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.018 сек.