Определение тройного интеграла

Тема 6.3. Тройной интеграл

Литература: [3, №№3547 – 3558; 5, гл. 2, §§ 2.1 – 2.3; 6, гл.2, §§ 1 - 2].

Рассмотрим трехмерную область V, ограниченную замкнутой поверхностью S. Область V называется правильной в направлении оси OZ, если любая прямая, проведенная параллельно оси OZ через внутреннюю точку V, проектируется на плоскость OXY в правильную область D_xy. Аналогичны определения правильных областей в направлениях осей ОХ и ОY.

Пусть плотность распределения вещества в объеме V: ρ = f (x, y, z) є C⁰ (D) – непрерывная функция. Разобьем тело произвольно на n частей с объемом ΔV_i (i=1,…,n), выберем точки P_i(x_i, y_i, z_i) є ΔV_i. Тогда масса тела приближенно будет равна

Эта сумма называется n-й интегральной суммой функции f(x, y, z). Конечный предел интегральных сумм при n→∞, max diam(V_i)→0 называется тройным интегралом от функции f(x,y,z) - плотности вещества по области V и выражает массу тела

(6.3.1)

В этом состоит физический смысл тройного интеграла.

Свойства тройных интегралов совпадают по форме с аналогичными свойствами двойных интегралов (3 - 8), если в последних символ площади заменить символом объема V.

Геометрический смысл тройного интеграла заключается в том, что если f(x,y,z)=1, то интегральная сумма содержит только объемы ΔV_i (i=1,…,n).

Но тогда в пределе получаем объем тела V:

Дата добавления: 2014-11-20