Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования

Формула Грина

Литература: [3, №№3822 – 3830; 5, гл. 3, §§ 3.6 – 3.7; 6, гл.4, §3].

Пусть граница Г плоской ограниченной области G состоит из конечного набора кусочно-гладких кривых. Тогда, если функции P, Q, P^’_x, Q^’_y непрерывны на G^*, справедлива формула Грина

(6.4.15)

где контур Г ориентирован, так что при его обходе область G остается слева.

Пример 6.4.3. Вычислить с помощью формулы Грина криволинейный интеграл , где Г – окружность x² + y² = R², пробегаемая против хода часовой стрелки.

Решение. При вычислении воспользуемся формулой (6.4.15), где

Следовательно,

Литература: [3, №№3831 – 3860; 6, гл. 4, §4].

Если функции P(x;y) и Q(x;y) непрерывны в плоской области G, то криволинейный интеграл

(6.4.16)

не зависит от пути интегрирования Г тогда и только тогда, когда выражение P(x;y)dx + Q(x;y)dy является полным дифференциалом некоторой функции u=u(x;y), то есть в области G выполняется условие

или (6.4.17)

При этом

(6.4.18)

Здесь

(6.4.19)

где Г_МоМ – некоторая кривая с началом в фиксированной точке М₀(х₀;у₀) и концом в точке М(х;у), лежащей в области G.

Пусть функции P; Q; непрерывны в плоской области G. Тогда для того, чтобы криволинейный интеграл (6.4.16) не зависел от пути интегрирования, необходимо, а в случае односвязности G и достаточно, чтобы в области выполнялось условие

(6.4.20)

Пример 6.4.4. Показать, что криволинейный интеграл , где А(1;-2), В(2;3) не зависит от пути интегрирования, и вычислить этот интеграл.

Решение. Так как функции непрерывны в R² и выполняется условие (6.4.20), то интеграл не зависит от пути интегрирования и выражается формулой (6.4.18). Функцию u(x;y) можно найти по формуле (6.4.19), но в связи с тем, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом: (3x² + y)dx + (x³ + x)dy = (3x²ydx + x³dy) + (ydy + xdy) = d(x³y) + d(xy) = d(x³y + xy) = dU, то интеграл вычисляется по формуле (6.4.18): I = u(B) – u(A) = 30 – (-4) = 34.

Дата добавления: 2014-11-20