Приклад. — круг, — відрізок, тоді — циліндр

— круг, — відрізок, тоді — циліндр.

1.2. Поняття відображення або функції

Означення. Нехай дано дві множини і . Якщо вказано правило , за яким кожному елементу поставлено у відповідність один і тільки один елемент , то кажуть, що на множині задано відображення (функція) в .

Позначення: , або , або .

Означення. Елемент називається образом елемента при відображенні , а елемент називається прообразом елемента .

Якщо , то – образ підмножини при відображенні .

Означення. Множина називається множиною значень або образом при відображенні . Множина називається областю визначення функції ().

Означення. Відображення називається ін’єкцією, якщо .

Означення. Відображення називається сур’єкцією, якщо .

Означення. Відображення називається бієкцією, якщо одночасно є ін’єкцією і сур’єкцією.

Означення. Нехай . Відображення , що визначається рівністю називається суперпозицією функцій і

Якщо – бієкція, то прообразкожного елемента складається з єдиного елемента . Тому можна визначити відображення наступним чином

Функція називається оберненою функцією для .

1.3. Еквівалентні множини. Потужність множини

Означення. Будемо говорити, що множини і еквівалентні, і писати , якщо існує бієкція із на або, інакше кажучи, між елементами множин і можна встановити взаємно однозначну відповідність.

Зауваження. Скінченні множини еквівалентні тоді і тільки тоді, коли кількість їх елементів однакова.

1.3.1. Властивості еквівалентних множин

1⁰. Якщо – рефлексивність.

2⁰. Якщо – транзитивність.

3⁰. – симетричність.

1.4. Зліченні множини

Означення. Множина називається зліченною, якщо вона еквівалентна множині натуральних чисел.

Зауваження. Потужність скінченної множини – це кількість її елементів. Говорять, що множина не більше ніж зліченна, якщо вона зліченна або скінченна.

Теорема 1. Будь-яка нескінченна підмножина зліченної множини зліченна.

Дата добавления: 2014-11-20