Доведення. Позначимо через множину верхніх меж множини ,

Доведення.

Позначимо через множину верхніх меж множини , . Тоді для і виконується нерівність . За аксіомою 5 для , . Тому верхня межа , – мінімальний елемент множини . Отже, .

Теорема 2 (про існування точної нижньої межі). Нехай обмежена знизу множина. Тоді її точна нижня межа існує.

Доведенняаналогічне доведенню теореми 1.

У випадку якщо множина необмежена зверху, то пишуть .

У випадку якщо множина необмежена знизу, то пишуть .

2.7. Принцип Архімеда

Теорема. Яке б не було дійсне число , існує таке натуральне , що .

Припустимо супротивне, тобто – обмежена зверху. За теоремою 1 . Тоді число не є верхньою межею . Це означає, що , . Оскільки , то одержимо суперечність тому, що точна верхня межа . Отже, наше припущення неправильне, і .

Наслідок. Які б не були дійсні числа і , існує таке, що .

Дата добавления: 2014-11-20