Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

ДИНАМИКА. На горошек со стороны стержней действуют силы нормальной реакции и силы трения




Задача № 16 (6 баллов ) Решение: (ОФ, 2007)

 

На горошек со стороны стержней действуют силы нормальной реакции и силы трения .Гороховый шарик прекратит движение, когда .

Учитывая, что , найдем .

Заметим, что ответ не зависит от значения силы

, поэтому «заклинивание» горошка не произойдет

при угле, определяемом равенством при

любом значении сил, действующих на стержни.


С другой стороны, . Тогда получим: или

Задача № 17 (7 баллов ) Решение: (ОФ, 2005)

 

В данном случае сила трения, действующая на пробку зависит от площади её поверхности, касающейся стекла (поскольку. p = N / S = dN / dS = const).

 

Сила трения равна:

= Const .h (1).

Работа по перемещению верхней части пробки до края бутылки совершается против постоянной силы трения F тр = Const .h и равна A 1 = F тр .(l – x 2) или A 1 = Const .h .(l – x 2) (2). Дальнейшая работа, согласно (1), совершается против линейно убывающей силы трения. F тр = Const (.h – x), при этом она равна A 2 = .(h – x) d x = . Полная работа равна A = A 1 + A 2 или A = . . Работа A 0 по вытаскиванию целой пробки соответствует x2 = h = и, следовательно, равна:

 
 

(3). В задаче x2 = ℓ /2, а h = ℓ /2 - ℓ /3 = ℓ /6, тогда окончательно получим: .

.

Задача № 18 (2 балла ) Решение: (РТ ОФШ 11кл, 2005)

Атмосфера планеты оказывает равномерное давление на её сферическую поверхность. Полагая, что основная часть атмосферы сосредоточена на такой высоте над поверхностью Земли, при которой нет необходимости учитывать зависимость ускорения свободного падения от высоты,получим несложное равенство:

(1) или (2).

Следовательно, окончательно получим:

 
 

(3).

Задача № 19 (10 баллов ) Решение: (РОФ, 2001)

Карлсон (или его сын) висит в воздухе за счет «реактивной» силы, возникающей, когда винт «отбрасывает» вниз воздушную струю. По третьему закону Ньютона эта сила будет равна по абсолютному значению силе, действующей на струю. Обозначим r - плотность воздуха, S - площадь сечения струи, v - абсолютное значение скорости струи. Тогда за время dt винтом отбрасывается вниз объем воздуха

(1) с массой (2).

Импульс движущегося под действием винта воздуха изменяется на величину

(3).

Согласно второму закону Ньютона на воздух действует сила

(4).

Такая же по величине сила действует на Карлсона (или его сына), которая и уравновешивает силу тяжести, т.е.

(5).

Выразим из этого уравнения скорость

. (6)

Мощность двигателя N равна кинетической энергии, сообщаемой воздуху за 1 с:

.

Подставляя в это выражение формулу (6), получим

. (7)

Учтем, что масса Карлсона (или его сына) пропорциональна его объему , где L - линейные размеры тела (рост), а площадь сечения струи воздуха (площадь «захвата» воздуха пропеллером) . Тогда из (7) нетрудно установить, что

(8).

Отношение мощностей моторчиков сына и отца Карлсонов равно отношению количества съедаемых ими банок варенья

.

Следовательно, младшему Карлсону достаточно за день съесть всего лишь

 
 

банки клубничного варенья.

Задача № 20 (3 балла ) Решение: (ОФ, 2003)

Ускорение, с которым медвежонок и весы скатываются вдоль горы, в отсутствии трения равно . Если рассматривать силы, действующие на них, в неинерциальной системе отсчёта, движущейся вместе с ними вдоль поверхности горы, вместо решения динамической задачи мы приходим к статическому варианту данной задачи, поскольку в указанной системе отсчёта все объекты неподвижны.

 

На Винни- Пуха, кроме силы тяжести, трения и реакции опоры, в данной неинерциальной системе отсчёта будет действовать ещё и сила инерции, направленная в сторону противоположную скатывания с горы и равная . В этой системе отсчёта запишем 2-й закон Ньютона в проекциях всех сил, действующих на Пуха, вдоль вертикальной оси z:

или (1).

 

Таким образом, реакция опоры N, соответствующая весу медведя P, равна:


. Так как весы отображают не вес объекта в ньютонах, а его отношение к ускорению свободного падения – g или, другими словами, “кажущуюся массу” объекта- , то получим:

Задача № 21 (3 балла ) Решение: (ОФ, 2009)

 

Отец и сын подобны друг другу с коэффициентом подобия k, где постоянная k равна отношению любых линейных размеров. связанных с ними. В частности, будет выполняться соотношение , где и -высоты подбрасывания шапок отца и сына. Тогда получим ответ:

Рассуждая менее формально, однако, из-за этого заметно более длинно, придём к такому же выводу. Так, если ввести дополнительно обозначения для массы мышц рук - и их длины - , а также массы шапки - , то имеем следующие пропорции: (1).

Поскольку по закону сохранения энергии ,то высота подбрасывания шапки пропорциональна сообщённой ей кинетической энергии, делённой на массу шапки или (2). В свою очередь изменение кинетической энергии шапки равно работе мышц рук, равной произведению силы мышц на перемещение шапки:

(3). Из (1), (2) и (3) получим:

 
 

. Окончательно найдём:

Задача № 22 (8 баллов) Решение: (РОФ, 2009)

Для того, чтобы ответить на вопрос о том, как труднее вращать кубик Рубика (или просто сплошной кубик) – относительно оси, проходящей через противоположные вершины или относительно оси, проходящей через центры противоположных граней куба, необходимо сравнить соответствующие моменты инерции I 1 и I 2. Момент инерции I 2 соответствует вращению квадратной пластины вокруг её центра и равен, где a - длина ребра куба

.

Для трех взаимно перпендикулярных осей, проходящих через центр куба, определим косинусы направляющих углов между данными осями и соответствующей им осью Z, проходящей через большую диагональ куба.

Косинусы соответствующих углов между этими осями и осью Z равны соответственно:

(1).

Момент инерции I 1 равен: I 1 = I x 0 + I y 0 + I z 0 (2).

Следовательно, I 1 = I x 0 (3), так как I x 0 = I y 0 = I z 0 = .

Тогда для оси, проходящей по диагонали куба, получим: I 1 = I x 0 = (4).

P.S. Докажем прямым расчётом, что полученное равенство моментов инерций I 1 и I 2 не является случайным.

 

Определим сначала момент инерции тонкой прямоугольной пластины массы d m относительно оси z, проходящей в её плоскости через центр под углами β и α к сторонам пластины.

Найдём связь между углами α, β, φ и θ.

Так как (1) или

(2) или (3). При этом: (4),

поскольку .

Момент инерции тонкой полосы массы dm

относительно оси, проходящей под углом β через

её центр (ось Zo) равен:

(5).

С учётом теоремы Штейнера, интегрируя последнее выражение по x, найдём момент инерции квадратной пластины относительно оси Z:

(6).

Исключив, при помощи уравнений (3) и (4), переменную α и β, получим из (6):

(7).

Таким образом, мы доказали, что момент инерции квадратной пластины, если ось походит через её центр, зависит только угла “нависания” данной оси над пластиной. Тогда, для упрощения дальнейших расчётов расположим ось Z o так,что φ = 90o.

С учётом теоремы Штейнера, момент инерции произвольной горизонтальной квадратной пластины, смещённой от центра на расстояние x, равен:

(8).

Подставляя и интегрируя (8) по , получим:

или, окончательно упрощая, получим искомый ответ: (9).

Полученное выражение, как это видно из предыдущих расчётов, будет справедливо по отношению к любой оси, проходящей через центр куба!!




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-12-08; Просмотров: 470; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.051 сек.