Законы сохранения в механике

Задача № 32 (4 балла) Решение: (ОФ, 2001)

Вес тела по определению есть, сила давления на опору. В данном случае реакция опоры возникает под действием тормозящей упругой силы и силы тяжести и расположена под углом к горизонту по ходу движения самолёта в направлении противоположном суммарной силе, действующей на самолёт.

Таким образом, вес пилота с возрастает до значения:

(1).

Ускорение самолёта определим из формулы, связывающей пройденный путь при равнопеременном движении с ускорением и значениями начальной и конечной скоростей: (2). Так как , а и ,

то ускорение равно .

Величина перегрузки, испытываемая пилотом, равна при этом:

Задача № 33 (7 баллов ) Решение: (РОФ и РТ ОФШ 10 кл, 2006)

По закону сохранения импульса (считая, что при минимальной скорости игрушки она, поднявшись на горку, далее движется вместе с ней с такой же скоростью u), определим скорость u: (1).

Кроме того, по закону сохранения энергии запишем:

или (2).

Тогда получим: υ_min = .

Задача № 34 (4 балла ) Решение: (ОФ ИПИ, 1986)

Во время движения обруча на него действуют три силы- сила тяжести, реакция опоры и сила трения скольжения (действием силы трения качения можно пренебречь). Сила тяжести и реакция опоры уравновешивают друг друга. Таким образом, фактически, движение обруча определяется действием силы трения скольжения равной F_тр = μ mg. Работа силы трения идёт на уменьшение скорости движения при поступательном движении (А₁) и, кроме того, она обеспечивает замедление вращения обруча (А₂). Полная работа силы трения скольжения при этом равна А = А₁ + А₂ = Q, где Q – количество теплоты, полученное как поверхностью- Q₁, так и самим обручем- Q₂ в результате действия силы трения. С учётом III- го закона Ньютона ясно, что Q₁ и Q₂ равны.

, где (1)

(2)

Отметим также, что (поскольку при а₁ = Const, 2а₁ S = )

При записи уравнений (1) и (2) учтено, что и поступательное и вращательное движение обруча равнозамедленное, так как сила трения скольжения постоянна. Следует заметить, что если тело имеет вид обруча, тангенциальное ускорение и ускорение при поступательном движении тела равны.

(3)

Из (1) и (2) получим: (4) или (5).

К такому же соотношению придём, рассматривая по отдельности поступательное и вращательное движение обруча. Запишем по теореме о связи работы силы и изменении кинетической энергии тела, движущегося под действием этой силы следующие уравнения:

(6) и (7)

Задача № 35 (4 балла ) Решение: (РТ ОФШ 11 кл, 2007)

Найдёмсреднее давление, которое оказывает дождь на лобовое стекло автомобиля, движущегося с постоянной скоростью υ. Угол наклона стекла по отношению к дороге α равен 60 ⁰. Можно считать, что капли дождя падают с постоянной скоростью u. Интенсивность дождя - h (мм)осадков в час.

В системе отсчёта, движущейся с постоянной скоростью вместе с автомобилем, капли падают на него под углом β к вертикали, причём . Угол падения на лобовое стекло автомобиля при этом равен . Достаточно заметное влияние на процесс отражения капли от стекла оказывают эффекты смачивания и поверхностного натяжения воды. Это позволяет нам приближённо рассчитывать искомое давление в рамках модели, в которой удар капли о стекло является неупругим. Сила, определяющая давление, создаваемое одной каплей дождя, на лобовое стекло автомобиля по нормали к нему (ось z), равна:

или (1). Обозначим через N количество капель, упавших на стекло за рассматриваемый отрезок времени t. Тогда искомое давление дождя на лобовое стекло, движущегося автомобиля равно:

(2).

Как видно из рисунка, N определяется количеством капель в скошенной призме с площадью основания S и длиной L, где . Длина рассматриваемой призмы такова, что все содержащиеся в ней капли за время не более t достигают лобового стекла машины. С учётом вышесказанного определим N: (3).

Таким образом, из (2) и (3) определим искомое давление:

(4).

Найдём -массу воды, в одном кубометре воздуха или, выражаясь образно, “плотность дождя”. За время t_час = 1 час на поверхности земли окажутся все капли из прямой призмы с площадью основания S₁ и высотой .

М- масса воды в этой призме постоянна и равна массе слоя осадков. Следовательно, искомая “плотность дождя” определяется равенством:

или (5).

Из (4) и (5) окончательно получим:

, где

β = arctg (v/u).

Задача № 36 (5 баллов ) Решение: (ОФ, 2005)

I –й способ:

По условию: v _x1 = v ₀₁ и v _y1 = - gt,

v _x2 = - v ₀₂ и v _y2 = - gt. Получим:

и .

Отсюда: (1).

Решая совместно последние три равенства, получим: (2).

Поскольку уравнения движения тел вдоль оси y одинаковы, расстояние между ними S = S _x = (v _x1+ v _x2) t, = 2,5 м.

II –й способ:

По условию запишем: a₁+ a₂ = p/2,

или tg (p/2-a₁) = tg a₂; tg a₁ × tg a₂ = 1,

или (1).

Задача № 37 (5 баллов ) Решение: (ОФ, 2010)

По условию задачи альпинист передвигает рюкзак медленно. Это означает, что в любой момент времени сумма действующих на рюкзак сил равна нулю. Рассматривая движение на небольшом участке длиной , расположенном под углом α к горизонтальной оси x, запишем для работы альпиниста на этом участке: (1).

Здесь учтено, что при медленном перемещении груза .

Так как , получим: или поскольку искомая работа равна:

Задача № 38 (8 баллов ) Решение: (РОФ, 2008)

Рассмотрим такую начальную скорость v ₁, при которой траектория астероида касается Земли. Применим закон сохранения момента импульса

(относительно точки А!): .
. Þ (1)
Если < , (2)
то астероид упадет на Землю.

По закону сохранения энергии
. (3)

Решая совместно (2) и (3) получим ответ: катастрофа произойдет, если

< , < , < 9008,5 км

так как , то катастрофа произойдет.

Задача № 39 (7 баллов ) Решение: (РОФ, 2009)

Космонавты перестанут видеть Землю, если гравитационное притяжение нашей планеты сможет “остановить ” свет, т.е. когда кванты электромагнитного излучения - фотоны не смогут преодолеть притяжение Земли. Очевидно, что необходимая для преодоления силы гравитационного притяжения кинетическая энергия частицы массы m должна быть не меньше, чем изменение при этом её потенциальной энергии.

Тогда получим: . Для того, чтобы фотон, перемещаясь со скоростью света, не смог бы покинуть поверхность планеты, необходимо выполнение условия или . Отсюда найдём искомый критический радиус сжатой под действием гравитации планеты: (1)

Таким образом, получим: при

Другими словами, скорость света должна быть сопоставима с 1-й космической скоростью на поверхности “уменьшившейся ” планеты.

При более точном рассмотрении необходимо учесть высоту орбиты h, оценивая при этом в видимом диапазоне частот максимальную энергию фотона, как , где - частота электромагнитного излучения, соответствующая фиолетовому свету. (2), где и высота орбиты H определяется выражением, соответствующим 3-му закону Кеплера или являющимся следствием равенства центробежной силы инерции и гравитационной силы притяжения космической станции к планете:

(3) или (4).

Получим: . Отсюда, учитывая, что расстояние от центра планеты до станции постоянно (при этом ), найдём:

(5) или (6)

или (7),

где

Дата добавления: 2014-12-08