Энтропия

Задача № 64 (6 баллов ) Решение: (ОФ, 2004)

Так как и , то или , но для одноатомного аргона это означает, что процесс, рассматриваемый в задаче, является адиабатическим, так как γ = 5/3 = - показатель адиабаты.

Таким образом, делаем вывод о том, что в данном процессе энтропия не изменяется S = Const, а искомый график имеет вид горизонтальной прямой.

Задача № 65 (5 баллов ) Решение: (РОФ, 2002)

Так как , а , то и = S₁₂ (1),

где S₁₂ – площадь выделенного на рисунке сегмента окружности. Так как точки 1 и 2 принадлежат вписанному в окружность квадрату, то:

S₁₂ = (S_круга – S_{квадрата})/4 (2), где S_круга = p R ² (3) , а S_{квадрата} = a ² (4).

Из рисунка видно, что 4 R ² = 2 a ², следовательно a ² = 2 R ² и S_{квадата} = 2 R ².

Из (2) – (6) получим:

(7), но поскольку полное изменение энтропии за цикл равно D S ₀ , то S_круга = D S ₀ = 1 Дж/к, следовательно

S₁₂ = D S ₀ (p - 2) / 4p, и изменение энтропии D S ₁₂ на участке 1 – 2 равно:

D S ₁₂ = S₁₂ = D S ₀ (p - 2) / 4p = 0,09 Дж / К.

Задача № 66 (6 баллов ) Решение: (ОФ, 2002)

Энтропия конечного состояния не зависит от того, как достигнуто это состояние. Будем считать, что оно достигнуто изобарически, что возможно т. к. конечное давление P_к = P₀.

Для каждого сосуда: , , ,

а, следовательно, изменения энтропии в обеих бутылях равны:

, ,где , .

В итоге полное изменение энтропии равно:

Задача № 67 (6 баллов ) Решение: (РОФ, 2008)

КПД цикла равен , (1)
где работа в цикле равна площади цикла

= S _круга, (2)
Так как (T dS = dQ),

, где – радиус окружности;

; . (3)

Подставляем (2) и (3) в (1), преобразовываем:

; ;

.

Если а – сторона квадрата, d – диаметр окружности, то: (Т ₂- Т ₁) = d; (T ₁+ d /2)= a /2; (T ₂- d /2)= a /2, т.е. (Т ₂+ Т ₁)= а, следовательно .

По условию ,

Задача № 68 (6 баллов ) Решение: (ОФ, 2003)

Докажем, что треугольник, представленный на графике- прямоугольный.

Если это так, то должны выполняться следующие соотношения:

(1) и (2).

Отсюда определим r - радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник: = 1 см (3)

(интересно, кстати, отметить, что справедлива следующая формула для диаметра вписанной в прямоугольный треугольник окружности: где и ).

Действительно, по условию r = 1 см, следовательно, так как вписанная окружность единственна. рассматриваемый в задаче треугольник- прямоугольный. К такому же выводу придём, выражая угол φ напротив стороны с в произвольном треугольнике, через его полупериметр:

, . При φ = 90 ⁰ . Отсюда , следовательно, , из чего следует, что треугольник прямоугольный. Тогда становится понятно почему обрадовался инженер- зная радиус окружности., вписанной в такой треугольник, легко рассчитать площадь треугольника S _∆ = p ^. r = 6, которая в свою очередь определяет искомое изменение энтропии за цикл.

Докажем последнее утверждение. Исходя из выражения для изменения энтропии и определения теплоёмкости, запишем уравнение, связывающее эти две характеристики:

(1), так как по определению- , а .

С учётом того, что C₀ и T₀ постоянные величины, и представляя dS через

логарифм : , перепишем (1) в виде:

. Следовательно, изменение энтропии за цикл равно: (2). Отсюда окончательно найдём:

Дата добавления: 2014-12-08