Сопротивление

Задача № 84 (8 баллов ) Решение: (ОФ, 2007)

Для решения этой задачи воспользуемся принципом суперпозиции токов и симметрией схемы. Допустим, что через подводящий контакт к точке А идет ток Тогда в отсутствии вывода В токи в ближайших звеньях будут равны а в следующих При подключении к точке В источника с силой тока распределение токов будет аналогичным. Таким образом, при одновременном подключении к точкам А и В, ток в двух звеньях, соединяющих эти точки

а падение напряжения между ними равно Следовательно, сопротивление всей цепи

ОТВЕТ:

Задача № 85 (7 баллов ) Решение: (РОФ, 2010)

I –й способ:

Докажем, что на схеме через одинаковые сопротивления текут одинаковые токи. Данный вывод следует из соображений симметрии: схема переходит сама в себя при последовательном отражении относительно вертикальной, а затем горизонтальной осей чертежа. К такому же выводу придём, рассуждая немного по-другому: меняя местами сопротивления a и c, получим те же токи в схеме, но зеркально отражённые относительно оси АВ. Повернув схему на 180⁰ относительно вертикальной оси (не изменяя потенциалы в точках А и В) и поменяв разность потенциалов между точками А и В на противоположную (при этом все токи поменяются на противоположные, а их распределение не изменится), получим начальную схему с прежними значениями токов.

Несложно заметить, что при этом все токи, идущие через одинаковые сопротивления цепи одинаковы.

Из 2-го правила Кирхгофа, записанного для контура abc в левой части схемы, найдём:

(1).

или после упрощений: (2).

Так как по 1-му правилу Кирхгофа (3),

то: (4) и (5).

Используя закон Ома для неоднородного участка цепи по отношению к верхнему участку между точками А и В, получим:

(6).

Из (4), (5) и (6) найдём:

(7).

Из уравнения (7) видно, что при уменьшении значение сопротивления цепи тоже монотонно уменьшается (производная по b нигде не равна нулю). Отсюда следует, что наименьшее значение сопротивления схемы достигает при b = 0.

Отсюда найдём:

II –й способ:

Задачу можно решить, используя теоретические методы электротехники.

Перейдём к эквивалентной схеме по принципу перехода от трёх сопротивлений, соединённых “треугольником”, к их соединению “звездой”, как это изображено на схеме.

Обратному преобразованию от “звезды” к “треугольнику” соответствуют следующие схемы и формулы:

где:

Тогда исходную схему (рис.а) можно перерисовать в другом виде (рис.б):

Рис. а

Сопротивление преобразованной схемы легко рассчитывается.

Рис. б

Общее сопротивление схемы равно:

(8),

что совпадает с прежним результатом, полученным первым способом.

Задача № 86 (6 баллов ) Решение: (ОФ, 2005)

Пусть

R _II = nR _I, (1)

R _III = mR _I, (2)

тогда для схем 1, 2 и 3 получим сопротивления:

= 132 Ом, (3)

= 165 Ом, (4)

= 220 Ом. (5)

Решая совместно уравнения (3), (4) и (5), получим:

; ;

Из уравнения (3) =60 Ом.

Из (1) и (2) определим R _II и R _III, причём R _II + R _III = 300 Ом.

Задача № 87 (10 баллов ) Решение: (РОФ, 2006)

Сопротивление “квадратной восьмёрки“ между точками А и B равно

R₁ = 2 r, где r - сопротивление одного прямолинейного участка цепи (ребра “квадрата”). Между точками С и D подключают сопротивление равное (по условию) R ₁, то есть равное 2 r. При этом исходную схему можно представить в другом виде (см. рис.), “заменив” сопротивление участка CD на два последовательно соединённых “ребра квадрата“.

Докажем, что точки N и M можно соединить и при этом общее сопротивление схемы не изменится. Это возможно, если потенциалы точек N и M равны.

Общее сопротивление схемы равно: .

Очевидно, потенциалы в точках M и 3 равны, т.е. φ_M = φ_3.

Сопротивления участков A2B и A1B равны 4r и 3r.

Токи I _A1 и I _A2 связаны соотношением: ₁

4r ^. I _A2 = 3r ^. I _A1.

Так как φ_A - φ_N = 2r ^. I _A2 и φ_A - φ_M = r^. I _A1+ ^,

то φ_M = φ₃ . Окончательно получим:

R₁ / R_общ = 2r / () = = 1,1(6) ≈ 1,17.

Задача № 88 (6 баллов ) Решение: (РОФ, 2007)

При подключении источника напряжения между точками А и В схема оказывается симметричной относительно плоскости, содержащей ребра АА¹ и ВВ¹. Следовательно, ребра СD и ЕF являются эквипотенциальными и их можно «выбросить», так как ток по ним не течет. После этого схема упрощается.

Полученная схема состоит из 2 полубесконечных цепочек, соединенных параллельно друг другу и резистора , параллельного им. Для вычисления сопротивления полубесконечной цепочки используем известный прием: сопротивление не поменяется, если уберем одно звено. Тогда:

(1) И сопротивление всей цепи: (2)

Из (1) и (2) получаем

Задача № 89 ( 4 балла ) Решение: (РТ ОФШ 10кл, 2006)

Данная схема эквивалентна следующей (ребро “ квадратика ” имеет сопротивление R):

или

Таким образом, общее сопротивление схемы равно: R _АВ = 11/12 R,

После подсоединении любого замкнутого проволочного контура к источнику постоянного тока образуется параллельное соединение его участков.

Сопротивление контура в данном случае, рассчитывается по формуле:

(1). Так как при этом R₁ + R₂ = Const, то получим:

(2). Максимальное значение сопротивления контура соответствует значению R₁ , при котором выполняется равенство: или .

Таким образом, учитывая, что Const = R₁ + R₂, получим R₁ = R₂ в случае наибольшего значения сопротивления контура.

Отсюда получаем для сопротивления одного ребра “квадратика”: R = R_max /2. Окончательно найдём: R _АВ = 11/ 24 R _max.

Задача № 90 ( 4 балла ) Решение: (ОФ, 2002)

Используем при решении данной задачи искусственный метод, основанный на использовании точек схемы, имеющих одинаковый потенциал.

Если соединить любые точки равного потенциала, то из закона Ома следует, что ток на участке, соединяющем данные точки, равен нулю. Таким образом, процедура соединения точек равного потенциала не изменяет движение зарядов в схеме.

R = + + + = 2 Ом.  

Соединяя точи схемы, имеющие равный потенциал (такие точки определяются из соображений симметрии), перечертим исходную схему в более простом виде.

Искомое сопротивление теперь легко рассчитать:

R = 2 Ом

Задача № 91 (8 баллов) Решение: (РОФ, 2004)

Докажем, что если “отцепить”

сопротивления от нижней части электрической схемы, то её сопротивление не изменится.

Если потенциалы в точках и равны, то даже после их разъединения, сопротивление схемы не изменится. При этом сопротивление верхней ветки схемы равно , а нижней- Отсюда, так как

, получим: (1).

Тогда значение потенциалов в точках и равны:

Таким образом, , тогда общее сопротивление схемы равно:

(4).

После того, как в точке провод будет перерезан, схема примет другой вид:

I ₅ = I ₁  

I ₄ = I ₂  

С учётом симметрии запишем:

и.Кроме того,

для узла L: (5).

По II- му правилу Кирхгофа получим (для контура AMLA):

или (6), при этом из (5) и (6) получим:

(7). Тогда по закону Ома для верхней части схемы:

или (8).

Однако, для всей цепи в целом запишем также по закону Ома:

(9). Отсюда: (10).

P.S. Для любителей более общих решений приведём готовые формулы для расчёта общего сопротивления “двухклеточного” контура постоянного тока или “мостика Уитстона” (см. рис).

В результате последовательного применения правил Кирхгофа получим:

(1).

Эту же формулу можно представить в другом виде:

(2)

или (3).

Также приведём формулы для расчёта соответствующих токов в данной схеме:

(4),

(5),

(6),

(7).

Интересно исследовать выражение для тока в перемычке LM. Данный ток, идущий “по мосту”, определяется следующим выражением:

(8),

из которого хорошо видно, что произведения “противоположных” сопротивлений равны , то ток в перемычке отсутствует.

P.S. Отметим, что в “мостовой” схеме выполняется следующее интересное соотношение между токами:

(9).

Задача № 92 ( 8 баллов ) Решение: (РОФ, 2008)

Соединяя все четыре контакта и точки C и D

в одну точку, перерисуем схему в виде:

Трансформируем ²треугольник² в ²звезду², поменяв сопротивления на

(доказательство см. ниже), получим новую схему.

обозначим токи I ₁, I ₂, I ₃, запишем законы Кирхгоффа:

, (1)

. (2)

, отсюда . (3)

Яркость ламп пропорциональна мощности:

Р ₂ < Р ₁, Р ₂ = 0,825 Р ₁ . Окончательно найдём:

Примечание:

Докажем, что от сопротивления ²треугольником² можно перейти к соединению ²звездой², если все три одинаковых сопротивления уменьшить в 3 раза.

В первом случае: Во втором случае: так как U_{a d} + U_{d c} = U_{a c} U_{a d} + U_{d b} = U_ab

Тогда ,

Þ

Задача № 93 (7 баллов ) Решение: (ОФ, 2007)

Параметры любой цепи постоянного тока, состоящей из сопротивлений, определяются системой уравнений, вытекающих из законов Ома и правил Кирхгофа. Поскольку данные законы отражают линейную связь потенциалов и токов, то и сама система уравнений является линейной. Тогда справедлив принцип суперпозиции- если два данных распределения потенциалов и токов в данной цепи являются возможными, то и сумма данных распределений также будет возможным состоянием цепи.

Рассмотрим два возможных распределения токов: Первое возникает, если создать между точками А и В разность потенциалов , причём и . При этом в силу симметрии ток распределяется из узла А равномерно и, в частности, по участку АВ течёт ток . Второе распределение токов возникает, если между точками А и В создать другую разность потенциалов- , причём и . И в этом случае токи, стекающиеся к узлу B, распределены симметрично. Тогда и в этом случае по участку АВ будет идти такой же ток ,где -ток, в подводящих проводах во втором случае.

Создавая между точками А и В разность потенциалов ,

равную сумме двух предыдущих, из принципа суперпозиции мы получим следующие выводы: ток в подводящих проводах , а ток на участке АВ равен . Таким образом, входящий в узел А ток расщепляется на два одинаковых, один из которых идёт по участку схемы с сопротивлением r = 1 Ом. Очевидно, что при этом остальная часть схемы должна иметь такое же сопротивление. Тогда полное сопротивление сетки равно

Дата добавления: 2014-12-08