Логический квадрат

Простые суждения, имеющие одинаковые термины (субъект
и предикат) и различающиеся по качеству и по количеству, находятся в определенных отношениях по истинности и ложности, которые иллюстрируются с помощью логической схемы (логического квадрата).

Установить типы отношений между суждениями по логическому квадрату важно при сопоставлении разных точек зрения по спорным вопросам в процессе дискуссии, редактировании текстов
и в других случаях.

А
п

о

д

ч

и

н

е

н

и

е

п

о

д

ч

и

н

е

н

и

е
Противоположность Е

I Частичная совместимость О

Отношения противоречия (контрадикторности): А – О, Е – I.

Эти суждения не могут быть одновременно истинными и ложными. Из истинности одного суждения следует ложность другого, из ложности одного – истинность другого.

Выводы строятся по схемам: А_и – О_л; А_л – О_и; Е_и – I_л; Е_л – I_и.

Например, если суждение «Все прокуроры являются юристами» (А) истинно, то суждение (О) «Некоторые прокуроры не являются юристами» ложно. Если суждение (Е) «Ни один прокурор не является юристом» ложно, то суждение (I) «Некоторые прокуроры являются юристами» истинно.

^ Отношения противоположности (контрарности): А – Е.

Противоположные суждения не могут быть одновременно истинными, но могут быть одновременно ложными. Из истинности одного суждения следует ложность другого, но из ложности одного из них может следовать как истинность, так и ложность другого суждения.

Выводы строятся по схемам: А_и – Е_л; Е_и – А_л; А_л – Е?; Е_л – А?.

Например, если суждение (А): «Все металлы электропроводны» – истинно, то суждение (Е): «Ни один металл не электропроводен» – ложно.

^ Отношение частичной совместимости (субконтрарности): I – О.

Эти суждения могут быть одновременно истинными, но не могут быть одновременно ложными. Из ложности одного суждения следует истинность другого, но из истинности одного из них может следовать как истинность, так и ложность другого.

Выводы строятся по схемам: I_л – О_и; О_л – I_и; I_и – О?; О_и – I?

Например, если суждение (I): «Некоторые металлы легче воды» – истинно, то и суждение (О): «Некоторые металлы не легче (тяжелее) воды» – тоже истинно.

^ Отношение подчинения: А – I; Е – О.

Из истинности общих суждений (А и Е) всегда следует истинность частных (I и О). Обратное неверно. И из ложности частных суждений (I и О) всегда следует ложность общих суждений (А и Е). Обратное неверно. Иначе говоря, из истинности подчиняющих суждений (А и Е) всегда следует истинность подчиненных (I и О), а из ложности подчиненных следует ложность подчиняющих суждений. Выводы строятся по схемам: А_и- I_и, А_л- I_?, I_и – А? I_л – А_л (аналогично и для суждений Е-О). Например, если суждение (А): «Все студенты – учащиеся) – истинно, то и суждение (I): «Некоторые студенты – учащиеся» тоже истинно. И на оборот.

Указанные правила «логического квадрата» позволяют выводить логические значения одних суждений из логических значений других с адекватным содержанием.

Упражнение 5

Проверьте логическую состоятельность следующих суждений, построенных на основе логического квадрата; укажите, в каких примерах допущены ошибки и в чем они заключаются.

1. Ложно то, что некоторые мысли невыразимы; значит, истинно то, что все мысли выразимы.

2. Ложно то, что ни один из друзей его не забыл; значит, ложно также то, что некоторые друзья его забыли.

3. Ложно то, что все дороги ведут в Рим; значит ложно то, что некоторые дороги ведут в Рим.

4. Истинно то, что некоторые болезни пока неизлечимы; значит, истинно то, что некоторые болезни излечимы.

5. Ложно то, что некоторые сражения не принесли Суворову победы; значит, истинно то, что некоторые сражения принесли Суворову победу.

6. Ложно, что ни одно положение Аристотеля не является ошибочным, значит, ложно также, что некоторые положения Аристотеля не являются ошибочными.

7. Истинно, что некоторые мысли можно выразить жестами; значит, истинно также то, что некоторые мысли нельзя выразить жестами.

8. Ложно, что все человеческое мне чуждо; значит, истинно, что ничто человеческое мне не чуждо.

9. Ложно, что все студенты МосГУ являются отличниками; значит ложно и то, что ни один студент МосГУ не является отличником.

10. Ложно, что все французские энциклопедисты ХVIII века были идеалистами; значит, ложно также то, что некоторые французские энциклопедисты ХVIII в. были идеалистами.

11. Ложно, что ни каждый человек грамотен, значит истинно, что некоторые люди грамотны.

12. Истинно, что ни один учебник логики, ни читается легко, значит ложно, что ни все учебники логики читаются легко.

13. Истинно, что всякое открытие ведет к новым проблемам, значит, истина, что некоторые открытия не ведут к новым проблемам.

14. Истинно, что кое-что блестяще, не является золотом; значит ложно, что некоторые золотые предметы не являются блестящими.

15. Истинно, что все студенты сдают экзамены; значит истинно, что все сдающие экзамены, являются студентами.

Пример: Истинно то, что некоторые мероприятия Наполеона были прогрессивными; значит, истинно также то, что некоторые мероприятия Наполеона не были прогрессивными. Согласно логическому квадрату если частноутвердительное суждение истинно (I_и), то частноотрицательное суждение (О) может быть как истинным, так и ложным.

Упражнение 6

Из приведенных ниже суждений выведите противоречащие, частичной совместимости и подчиняющие суждения; установите их истинность или ложность.

1.
Некоторые проступки не являются преднамеренными.

2.
Некоторые писатели являются авторами фантастических романов.

3. Большинство студентов нашего университета хорошо знают информатику.

4. Часть военнослужащих является офицерами.

5. Некоторые суждения не являются простыми.

6. Не все то золото, что блестит.

7. Некоторые микробы вредны для здоровья человека.

8. Некоторые книги В. Гюго мне не понравились.

9. Все ягоды съедобны.

10. Некоторые восстания были победоносны.

11. Люди здесь все жизнерадостные.

12. Не бывает специалистов, никогда ни в чем не ошибающихся.

13. Ни все хорошо знающие математику специально ее изучали в вузе.

14. Во многих стихах М. Лермонтова романтизм сочетается с любовью к Родине.

15. Неверно, что никакое доброе дело не остается безнаказанным.

Пример:

Некоторые государства являются унитарными (I_и).

Ни одно государство не является унитарным (Е_л).

Все государства являются унитарными (А_л).

Некоторые государства не являются унитарными (О_и).

Упражнение 7

При помощи логического квадрата выведите противоположные, противоречащие и подчиненные данным суждения. Установите их истинность или ложность.

1.
Ни один человек себе не враг.

2.
Все математики – ученые.

3.
Каждый студент изучает какую-нибудь науку.

4.
Некоторые преступления не являются умышленными.

5.
Среди русских художников есть немало известных пейзажистов.

6.
Не всякому офицеру мундир к лицу. (Козьма Прудков)

7.
Большинство студентов успешно сдали сессию.

8.
Многие реки России красивы и полноводны.

9.
Все студенты сдают экзамены.

10.
Ни одна звезда не является обитаемой.

11.
Все реки судоходны.

12.
Обвиняемый имеет право на защиту.

13.
Все сделки, не соответствующие требованиям закона, являются недействительными.

14.
Ни один член семьи Ивановых не работает в области искусства.

15.
Все теракты приносят обществу только ущерб.

Пример:

Всякое суждение выражается в предложении (А_и).

Некоторые суждения выражаются в предложении (I_и).

Ни одно суждение не выражается в предложении (Е_л).

Некоторые суждения не выражаются в предложении (О_л).

^ СЛОЖНЫЕ СУЖДЕНИЯ

Суждения, состоящие более чем из одного простого суждения, связанных логическими союзами, называются сложными.

Сложные суждения, образованные посредством связи двух или нескольких простых суждений логическим союзом «и», называются соединительными (конъюнктивными).

Логический союз «и» и равнозначные ему союзы обозначаются знаком «». Например: «На улице холодно и идет дождь».

Зависимость истинности конъюнктивного суждения от истинности исходных суждений можно изобразить в виде следующей таблицы:

А	В	А В
и	и	и
и	л	л
л	и	л
л	л	л

где и – значение «истинно», л – значение «ложно».

В естественном языке конъюнктивная связка может быть представлена и такими выражениями, как «а», «но», «а также», «как и», «хотя», «однако», и др.

Соединительное (конъюнктивное) суждение в процессе общения может быть представлено одной их трех логических форм.

^ Два субъекта и один предикат (S₁ и S₂ есть Р). Например, «Лондон и Париж – столицы европейских государств».

Один субъект и два предиката (S есть Р₁ и Р₂). Например, «Логика – это одна из труднейших дисциплин гуманитарного цикла и одна из самых необходимых специальных наук».

^ Два субъекта и два предиката (S₁ и S₂ есть Р₁ и Р₂). Например, «Основные права и свободы человека неотчуждаемы и гарантированы Конституцией».

Сложные суждения, образованные посредством связи двух или нескольких простых суждений логическим союзом «или», называются разделительными (или дизъюнктивными).

Например: «Истец вправе увеличить или уменьшить размер исковых требований».

Дизъюнктивная связь выражается также союзами «либо», «то ли…то ли», «либо…либо» и т. п., равнозначными по смыслу союзу «или».

Поскольку в естественном языке логический союз «или» употребляется в двух значениях – соединительно-разделительном и исключающе-разделительном, то различают два вида разделительных суждений: нестрогую (слабую) и строгую (сильную) дизъюнкцию.

1) ^ Нестрогая (слабая) дизъюнкция – суждение, в котором логический союз «или» употребляется в соединительно-разделительном смысле, т.е. возможные мыслимые признаки предметов не исключают друг друга. Например, «Холодное оружие может быть колющим или режущим». Обозначается знаком «U» - нестрогая дизъюнкция.

2) ^ Строгая (сильная) дизъюнкция – суждение, в котором логический союз «или» употребляется в разделительном значении. В данном случае возможные признаки предметов исключают друг друга. Например, «На очередных выборах в США победят либо республиканцы, либо демократы». Обозначается знаком «Ú» - строгая дизъюнкция.

Слабую и сильную дизъюнкцию можно выразить в виде следующих таблиц:

слабая дизъюнкция

А	В	А В
и	и	и
и	л	и
л	и	и
л	л	л

сильная дизъюнкция

А	В	А Ú В
и	и	л
и	л	и
л	и	и
л	л	л

Различают полную и неполную дизъюнкцию.

^ Полным или закрытым называют дизъюнктивное суждение, в котором перечислены все признаки или все виды определенного рода. Символически это суждение можно описать следующим образом < А U В U С >. Например, «Леса бывают лиственные, хвойные или смешанные».

Неполным или открытым называют дизъюнктивное суждение. в котором перечислены не все признаки или не все виды определенного рода. Символически их можно представить в следующем виде: А U В U С ….. В естественном языке неполнота дизъюнкции обычно выражается словами: «и другие», «и так далее», «и тому подобное», «иные». Например, «Похищение чужого ребенка или подмена ребенка, совершенные с корыстной целью или из иных низменных побуждений наказываются…» Выражение «из иных низменных побуждений» означает неполноту дизъюнктивно перечисленных признаков.

В языке разделительное суждение может быть выражено одной из трех логико-грамматических структур.

^ Два субъекта и один предикат (S₁ или S₂ есть Р). Например, «Хищение в крупных размерах или совершенное группой лиц имеет повышенную общественную опасность».

^ Один субъект и два предиката (S есть Р₁ или Р₂). Например, «Хищение наказывается исправительными работами или тюремным заключением».

Два субъекта и два предиката (S₁ и S₂ есть Р₁ и Р₂). Например, «Ссылка или высылка могут применяться в качестве основной или дополнительной санкции».

Сложные суждения, образованные посредством связи двух или нескольких простых суждений с помощью союза «если… то», называются условными или импликативными. Импликация обозначается «→».

Например: «Если на улице идет дождь, то асфальт мокрый».

Первое суждение – «На улице идет дождь» называют антецедентом (предшествующим), второе - «Асфальт мокрый» - консеквентом (последующим). В естественном языке для выражения условных суждений используются также союзы «там…, где», «тогда…, когда», «постольку…., постольку» и др.

Таблица истинности импликации

А	В	А → В
и	и	и
и	л	л
л	и	и
л	л	и

Сложные суждения, связанные между собой с помощью союзов «если и только, если», «тогда и только тогда» и т.п., называются суждениями тождества или эквивалентности. Обозначается данный логический союз с помощью знака «».

В естественном языке для выражения суждений тождества или эквивалентности используются союзы: «лишь при условии что.., то…», «в том и только в том случае когда…, тогда…», «только тогда когда…, то…» и др.

Таблица истинности для суждений тождества или эквивалентности

А	В	А В
и	и	и
и	л	л
л	и	л
л	л	и

Упражнение 8

Даны два суждения: «Студент сдал экзамен» (^ А) и «Студент едет на каникулы домой» (В). Сформулируйте словесно следующие высказывания:

1) А Ú В. 2) А → В. 3) А В. 4) А В.

Пример: А В. Или «студент сдал экзамен», или «студент едет на каникулы домой».

Упражнение 9

Найдите составляющие сложное суждение простые суждения
и определите, какой связкой они связаны. Определите истинность сложных суждений с помощью таблиц истинности.

1. По делу гражданина Иванова будет вынесен обвинительный или оправдательный приговор.

2. Согласно легенде право считаться родиной Гомера оспаривали семь городов: Смирна, Хиос, Колофон, Саламин, Родос, Аргос, Афины.

3. Кража сотового телефона совершена Ивановым или Петровым.

4. Суд отказывает в иске истцу, если его исковые требования являются незаконными.

5. Его любимые композиторы Верди и Моцарт.

6. Повысить рентабельность можно за счет повышения производительности труда или за счет приобретения сырья на более выгодных условиях.

7. Лекции в Московском университете слушали Радищев и Новиков, Чаадаев и Белинский, Тургенев и Гончаров.

8. Если и только если Солнце находится в зените, то тени от него бывают самыми короткими.

9. Неприятное впечатление на слушателей производит не только физическая скованность, но и беспорядочная жестикуляция оратора.

10. Объяснение трудного в усвоении материала становится тем более понятным, чем проще и четче излагает его преподаватель.

11. Он не был ни прилежным, ни способным.

12. Я никогда бы не знал хорошо математики, не будь у меня хороших учителей.

13. Коли лгу, пусть Бог велит не сойти живой мне с места.

14. «Красота ослепляет, а слепого легко обокрасть». (американское изречение)

15. «Даже если знания отпускаются бесплатно, приходить надо со своей тарой». (пословица)

Пример: «Вам никогда не удастся создать мудрецов, если будите убивать в детях шалунов» (Ж. Руссо) А → В (см. таблицу истинности для импликации).

Упражнение 10

При истинности исходного суждения «Х знает Y, но Y не знает Х» определите истинностные значения следующих суждений:

а) Х и Y не знают друг друга.

б) Y знает Х, или Х не знает Y.

в) Либо Y не знает Х, либо Х знает Y.

г) Х не знает Y и Y не знает Х.

д) Неверно, что Х и Y не знают друг друга.

е) Если Х знает Y, то Y знает Х.

ж) Если Х не знает Y, то Y знает Х.

з) Если Y не знает Х, то Х не знает Y.

и) Х знает Y тогда и только тогда, когда Y знает Х.

Пример: Х и Y знают друг друга. и л данное высказывание согласно таблице истинности для конъюнктивного суждения будет ложным.
ПОСТРОЕНИЕ ТАБЛИЦЫ ИСТИННОСТИ

Построение таблицы истинности для суждений, в которые входят более двух переменных, строится по определенным правилам.

Пусть вам необходимо построить таблицу истинности для следующего суждения: (А → (В С)).

Для определения количества строк в таблице истинности воспользуемся следующей формулой: 2³ = 8 строк, где 2 – логическая константа, так как любое суждение может быть либо истинным, либо ложным, третьего в двухзначной логике не дано.

Алгоритм распределения значений И и Л для переменных таков:

– в столбце для ^ А сначала пишем 4 раза «И» и 4 раза «Л»;

– в столбце для В сначала пишем 2 раза «И» и 2 раза «Л», затем повторяем;

– в столбце для С поочередно, начиная со значения «И» чередуем значения.

Пример таблицы для сложного суждения (А → (В С)).

А	В	С	(А →	(В С))
И	И	И	И	И
И	И	Л	Л	Л
И	Л	И	Л	Л
И	Л	Л	Л	Л
Л	И	И	И	И
Л	И	Л	И	Л
Л	Л	И	И	Л
Л	Л	Л	И	Л

Порядок выполнения действий в данной таблице такой же, как
и в математике: вначале выполняются действия в скобках, а затем между скобками. В зависимости от распределения значений «истина» и «ложь» в результирующем столбце в логике различаются три вида формул: а) выполнимая формула – та, которая в результирующем столбце может принимать, по крайней мере, одно значение: «истина»; б) тождественно-ложная формула – та, которая соответственно принимает только значение «ложь»; в) тождественно-истинная (или логический закон) формула – та, которая в результирующем столбце принимает только значение «истина». Результирующим является столбец истины, который соответствует последнему выполняемому в ней действию.

Упражнение 11

^ С помощью простых суждений: а – «Я работаю в офисе», b – «Я люблю свою профессию», с – «Я учусь в университете» составьте высказывания, соответствующие следующим формулам:

1.
a b c.

2.
a b c.

3.
c → (a b).

4.
b → (a b).

5.
( a b) → c.

6.
(a → b) → (c → b).

7.
(a → b) a → c.

8.
(a Ú b) → c.

9.
c → (a b).

10.
c b a

Дата добавления: 2014-12-16