Відношення на одній множині. Властивості відношень. Точки даного графа, що зображають елементи множини,називають вершинами графа

Точки даного графа, що зображають елементи множини,називають вершинами графа. Якщо біля кожної вершини графа зпмкненна петля, то відношення має властивість рефлексивності.

Властивості відношень У математиці вивчають різноманітні відношення між двома об’єктами. Кожне з них розглядається у деякій множині Х і є множиною пар. Таких відношень дуже багато. Чи можна їх класифікувати? Так. Для цього потрібно виділити у відношеннях найбільш характерні їх властивості. Розглянемо деякі з них.

Означення. Відношення R у множині Х називається рефлексивним, якщо кожен елемент множини Х є у відношенні R сам до себе. R рефлексивне у Х хRх для будь-якого х Є Х. Приклади рефлексивних відношень: «паралельність прямих», «рівність», «кратність». Якщо відношення рефлексивне, то в кожній вершині графа є петля. Відношення «більше», «менше», «перпендикулярності» не є рефлексивними.

Означення. Відношення R у множині Х називається антирефлексивним, якщо кожен елемент множини Х не є у відношенні R сам до себе. R антирефлексивне у Х для будь-якого х Є Х. Приклади антирефлексивних відношень: «більше». «менше» у числових множинах, «перпендикулярність» - у множині прямих на площині. Якщо відношення антирефлексивне, то в кожній вершині графа відсутня петля.

Означення. Відношення R у множині Х називається симетричним, якщо з того, що елемент х є у відношенні R до елемента у, випливає, що елемент у є у відношенні R до елемента х. R симетричне у Х хRу уRх. Приклади симетричних відношень: «паралельність», «перпендикулярність», «рівність». Якщо відношення симетричне, то на графі подвійна стрілка. Відношення «більше». «менше». «довше» не є симетричними.

Означення. Відношення R у множині Х називається антисиметричним, якщо з того, що елемент х не є у відношенні R до елемента у і х≠у, не випливає, що елемент у є у відношенні R до елемента х. R антисиметричне у Х хRу і х≠у. Приклади антисиметричних відношень: «більше», «менше», «подільності». Якщо відношення антисиметричне, то на графі стрілка в один бік.

Означення. Відношення R у множині Х називається транзитивним, якщо з того, що елемент х є у відношенні R до елемента у, а елемент у є у відношенні R до елемента z, то елемент х також перебуває у відношенні R до елемента z. R транзитивне у Х хRу і уRх хRz. Приклади транзитивних відношень: «паралельність», «рівність», «подібність», «кратність». Як бачимо, різні за змістом відношення можуть мати спільні властивості. Це дає можливість виділяти відношення з певними наборами властивостей. Найважливішими з них є відношення еквівалентності і порядку.

4. теоретико множинний зміст натурального числа

Натура́льні чи́сла — числа, що виникають природним чином при лічбі. Це числа: 1, 2, 3, 4, … Множину натуральних чисел прийнято позначати знаком

Дата добавления: 2014-12-16