Матрица перестановок

Блочные матрицы

Рассмотрим прямоугольную матрицу A и рассечем ее горизонтальными и вертикальными линиями на блоки A_{i j}:

Здесь A_{i 1}, A_{i 2},..., A_{i k},... - матрицы с одинаковым числом строк; A _{1 j} , A _{2 j} ,..., A_{k j},... - матрицы с одинаковым числом слолбцов.

Представленную в таком виде матрицу A называют блочной или говорят, что матрица A разбита на блоки (клетки).

Если размеры блоков выбраны такими, что соответствующие матричные операции определены, то действия над блочными матрицами производятся по тем же правилам, что и в случае обычных матриц (с матричными элементами, обозначенными A_{i j}). Однако следует соблюдать осторожность при выборе порядка сомножителей в произведении блоков из-за некоммутативности операции умножения матриц.

Блочная матрица называется блочно диагональной, если она по своему виду совпадает с обычной диагональной матрицей, то есть как если бы блоки A_{i j} представляли собой обычные матричные элементы.

Блочная матрица называется блочно треугольной, если она по своему виду совпадает с обычной треугольной матрицей.

Если в единичной матрице изменить порядок расположения строк, то полученная матрица называется матрицей перестановок. Иначе говоря, квадратная матрица, в каждой строке и в каждом столбце которой только один элемент отличен от нуля и равен единице, называется матрицей перестановок.

Непосредственным вычислением легко проверяются следующие свойства матрицы перестановок.

1. Умножение слева матрицы перестановок на прямоугольную матрицу A приводит к перестановке строк матрицы A.
2. Умножение справа матрицы перестановок на прямоугольную матрицу A приводит к перестановке столбцов матрицы A.

Пусть, например, пятой строкой матрицы перестановок является строка вида (0, 1, 0, 0,..., 0). Тогда результатом умножения этой строки на столбцы прямоугольной матрицы A = || a_{i j} || является вторая строка (a ₂₁ a ₂₂ a ₂₃...) матрицы A, которая располагается в позиции пятой строки результитрующей матрицы.

Таким образом, если в i -ой строке матрицы перестановок P единица расположена в j -ом столбце, то умножение матрицы P слева на матрицу A приводит к перемещению j -ой строки матрицы A в позицию i -ой строки.

Аналогично, если в i -ом столбце матрицы перестановок P единица расположена в j -ой строке, то умножение матрицы P справа на матрицу A приводит к перемещению j -го столбца матрицы A в позицию i -го столбца.

Если матрицы перестановок P получена из единичной матрицы E перестановкой местами двуз строк (или двух столбцов), то такая матрица называется элементарной матрицей перестановок.
При умножение слева элементарной матрицы перестановок на матрицу A происходит перестановка соответствующих строк матрицы A.
Умножение справа элементарной матрицы перестановок на матрицу A приводит к перестановке соответствующих столбцов матрицы A.

Для любой матрицы перестановок P справедливы следующие свойства:

где - транспонированная матрица перестановок; E - единичная матрица.

Действительно,

где - дельта-символ Кронекера.

Терема 1. Произведение матриц перестановок одного и того же порядка есть матрица перестановок.

Терема 2. Матрица перестановок n -го порядка может быть представлена в виде произведения (n - 1) элементарных матриц перестановок.

Терема 3. Квадрат элементарной матрицы перестановок есть единичная матрица.

Доказательство этих утверждений предоставляется читателю.

Примеры матриц перестановок.

Элементарные матрицы перестановок:

Матрицы перестановок:

Дата добавления: 2014-12-16