Треугольные, транспонированные и симметричные матрицы

Говорят, что матрица имеет треугольный вид, если все ее элементы, расположенные выше или ниже главной диагонали, равны нулю:

или

Рис.1. Верхняя треугольная матрица и нижняя треугольная матрица.

Треугольные матрицы обладают следующими свойствами:

1. Сумма треугольных матриц одного наименования есть треугольная матрица того же наименования; при этом диагональные элементы матриц складываются.
2. Произведение треугольных матриц одного наименования есть треугольная матрица того же наименования.
3. При возведении треугольной матрицы в целую положительную степень ее диагональные элементы возводятся в эту же самую степень.
4. При умножении треугольной матрицы на некоторое число ее диагональные элементы умножаются на это же самое число.

Доказательство утверждений предоставляется читателю.

Если в произвольной m × n матрице произвести взаимную замену строк и столбцов, то полученная матрица называется транспонированной и обозначается символом . Другими словами, строки матрицы A являются столбцами матрицы , а столбцы матрицы A являются строками матрицы :

Очевидно, что

,

Операция транспонирования произведения матриц обладает следующим свойством:

Предположим, что размерности матриц таковы, что операции умножения соответствующих матриц определены.
Тогда

Доказательство.
Представим i, j -ый элемент матрицы в виде

Попарное равенство матричных элементов для произвольных наборов индексов i и j означает равенство матриц.

Квадратная матрица A называется симметричной, если , что означает .

Матрица называется кососимметричной, если , то есть .

Пример 1. Найти , если Решение

***

Пример 2. Матрица является симметричной, поскольку . Учитывая, что вещественность симметричной матрица влечет за собой ее эрмитовость, заключаем, что матрица S является эрмитовой: .

***

Пример 3. Матрица является кососимметричной, поскольку

***

Пример 4. Непосредственным вычислением убедиться в справедливости свойства на примере произвольных матриц второго порядка, A = || a_{i j} || и B = || b_{i j} ||. Решение

Дата добавления: 2014-12-16