Нормальный закон распределения

Задачи

1. Производится беспроигрышная лотерея на 200 выигрышей, из которых 1 выигрыш на 100 рублей, 5 на 20 рублей, 10 на 5 рублей, 184 на 2 рубля. Определить справедливую цену билета (сумма выигрышей равна сумме проигрышей).

Ответ: М(Х) = 3,09 рубля

2. Строительная площадка имеет форму квадрата. Данные теодолитной съёмки измерений занесены в таблицу:

Х
Р	0,05	0,08	0,16	0,42	0,16	0,08	0,05

Х – сторона квадрата. Найти М(Х).

Ответ: М(Х) = 350

3. Случайная величина задана законом распределения:

Х
Р	0,1	0,1	0,3	0,5

Найти М(Х), D(Х), σ(Х).

Ответ: М(Х) = 3,2; D(Х) = 0,96; σ(Х) = 0,979

4. Найти математической ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:

а)

х	-3	-2
Р	0,1	0,2	Р3	0,3

Ответ: Р₃ = 0,4; М(Х) = 1,2; D(Х) = 8,16; σ(Х) = 2,86.

б)

Х	-4
Р	0,2	0,3	0,5

Ответ: М(Х) = 6; D(Х) = 25,12; σ(Х) = 5,09.

в)

Х
Р	Р1	0,3	0,2	0,1

Ответ: Р₁ = 0,4; М(Х) = 2,7; D(Х) = 2,61; σ(Х)» 1,6.

г)

Х
Р	0,064	0,096	0,240	0,600

Ответ: М(Х) = 2,376; D(Х)» 0,892; σ(Х)» 0,94.

д)

Х
Р	0,3	0,4	0,3

Ответ: М(Х) = 3; D(Х) = 2,4; σ(Х) = 1,55.

е)

Х	-2
Р	0,5	Р2	0,3

Ответ: М(Х) = 1,9; D(Х) = 16,29; σ(Х)» 4,04.

ж)

Х	-2,1	1,2
Р	0,7	0,3

Ответ: М(Х) = -1,11; D(Х) = 2,2869; σ(Х)» 1,51.

з)

Х
Р	0,3	0,5	0,2

Ответ: М(Х) = 2,3; D(Х) = 2,01; σ(Х)» 1,41.

и)

Х	-2
Р	0,1	Р2	0,3	0,2

Ответ: М(Х) = 0,7; D(Х) = 2,01; σ(Х)» 1,41.

к)

Х	-1,2	2,1
Р	0,7	0,3

Ответ: М(Х) = 0,21; D(Х) = 2,287; σ(Х)» 1,13.

5. Дискретная случайная величина Х принимает три возможных значения Х₁ = 4 с Р₁ = 0,5, Х₂ = 7 с вероятностью Р₂ = 0,3 и Х₃ с вероятностью Р₃. М(Х) = 8,3. Найти: Х₃ и Р₃.

Ответ: Х₃ = 21; Р₃ = 0,2.

6. Дано Х – дискретная случайная величина:

Х
Р	Р1	Р2

М(Х) = 4,1. Найти: Р₁ и Р₂

Ответ: Р₁ = 0,3; Р₂ = 0,7.

7. Дано:

Найти: М(Х), D(Х), σ(Х)

Ответ:

8. Дано:

Найти: М(Х), D(Х), σ(Х)

Ответ:

9. Дано:

Найти: М(Х), D(Х), σ(Х)

Ответ:

10. Дано:

Найти: М(Х), D(Х), σ(Х)

Ответ:

11. Из 25 контрольных работ, среди которых 5 оценены на отлично, наугад извлекли 3 работы. Найдите закон распределения числа отличных работ в выборке, математическое ожидание и дисперсию.

12. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Из этой партии наугад взято 2 детали. Найдите закон распределения числа стандартных деталей в выборке, математическое ожидание и дисперсию.

13. Рабочий обслуживает 4 независимо работающих станка. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего, равна для первого станка 0,7; для второго 0,75; для третьего 0,8; для четвёртого 0,9. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа станков, которые не потребуют внимания рабочего.

14. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х равны соответственно 2 и 9. Найти математическое ожидание и дисперсию величины: а) Х + 3, б) 2 Х – 5, в) –3 Х + 9. Чему равно математическое ожидание величины Х² – Х?

15. Даны законы распределения двух независимых случайных величин Х и У. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайных величин X, У, Z = 2X + У, U = XУ.

Х					У	-2
Р	0,3	0,3	0,4	Р	0,4	0,6

Ответ: .

16. Вероятность поражения вирусным заболеванием куста земляники равна 0,2. Составить закон распределения числа кустов земляники, зараженных вирусом, из четырех посаженных кустов.

17. Стрелок ведет стрельбу по цели с вероятностью попадания при каждом выстреле 0,2. За каждое попадание он получает 5 очков, а в случае промаха очков ему не начисляют. Составить закон распределения числа очков, полученных стрелком за 3 выстрела, и вычислить математическое ожидание этой случайной величины.

18. В рекламных целях фирма вкладывает в каждую десятую единицу товара денежный приз размером 1 тыс. руб. Составить закон распределения случайной величины – размера выигрыша при пяти сделанных покупках. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

19. Клиенты банка, не связанные друг с другом, не возвращают кредиты в срок с вероятностью 0,1. Составить закон распределения числа возвращенных в срок кредитов из 5 выданных. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

20. Контрольная работа состоит из трех вопросов. На каждый вопрос приведено 4 ответа, один из которых правильный. Составить закон распределения числа правильных ответов при простом угадывании. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

21. В среднем по 10 % договоров страховая компания выплачивает страховые суммы в связи с наступлением страхового случая. Составить закон распределения числа таких договоров среди наудачу выбранных четырех. Вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

22. В билете три задачи. Вероятность правильного решения первой задачи равна 0,9, второй 0,8, третей 0,7. Составить закон распределения числа правильно решенных задач в билете и вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

23. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8, и уменьшается с каждым выстрелом на 0,1. Составить закон распределения числа попаданий в цель, если сделано три выстрела. Найти математическое ожидание, дисперсию и средне квадратическое отклонение этой случайной величины.

24. Произведено два выстрела в мишень. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна 0,8, вторым 0,7. Составить закон распределения числа попаданий в мишень. Найти математическое ожидание, дисперсию и функцию распределения этой случайной величины и построить ее график. (Каждый стрелок делает по одному выстрелу).

Ответ: Х = ; М(Х)=1,5; D(Х)=0,37.

25. Найти закон распределения числа пакетов трех акций, по которым владельцем будет получен доход, если вероятность получения дохода по каждому из них равна соответственно 0,5, 0,6, 0,7. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины, построить функцию распределения.

Ответ: Х = , М(Х)=1,8; D(Х)=0,7;

26. Дан ряд распределения случайной величины Х:

	хi	х1	х2
	pi	0,3	0,7

Найти закон распределения этой случайной величины, если ее математическое ожидание равно 3,4, а дисперсия равна 0,84.

Ответ:	хi	х1	х2
	pi	0,3	0,7

27. Из пяти гвоздик две белые. Составить закон распределения и найти функцию распределения случайной величины, выражающей число белых гвоздик среди двух одновременно взятых.

Ответ: Х = ,

28. Их 10 телевизоров на выставке 4 оказались фирмы «Сони». Наудачу для осмотра были выбраны 3. Составить закон распределения числа телевизоров фирмы «Сони» среди 3 отобранных.

Ответ: .

29. Среди 15 отобранных агрегатов 6 нуждаются в дополнительной смазке. Составить закон распределения числа агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке, среди 5 наудачу отобранных из общего числа.

Ответ: Х = .

30. В магазине продаются 5 отечественных и 3 импортных телевизора. Составить закон распределения случайной величины – числа импортных телевизоров из 4 наудачу выбранных телевизоров. Найти функ­цию распределения этой случайной величины и построить ее график.

Ответ: Х= ,

31. Вероятность того, что в библиотеке необходимая студенту книга свободна, равна 0,3. Составить закон распределения числа библиотек, которые посетил студент, если в городе 4 библиотеки. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Ответ: Х = , М(Х) = 2,533; D(Х) = 1,5349;

32. Экзаменатор задает студенту вопросы, пока тот правильно отвечает. Как только число правильных ответов достигнет четырех либо студент ответит неправильно, экзаменатор прекращает задавать вопросы. Вероятность правильно ответа на один вопрос равна 2/3. Составить закон распределения числа заданных студенту вопросов.

Ответ:

33. Торговый агент имеет 5 телефонных номеров потенциальных покупателей и звонит им до тех пор, пока не получит заказ на покупку товара. Вероятность того, что потенциальный покупатель сделает заказ, равна 0,4. Составить закон распределения числа телефонных разговоров, которые предстоит провести агенту. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Ответ:

34. Каждый поступающий в институт должен сдать 3 экзамена. Вероятность успешной сдачи первого экзамена 0,9, второго – 0,8, третьего – 0,7. Следующий экзамен поступающий сдает только в случае успешной сдачи предыдущего. Составить закон распределения числа экзаменов, сдававшихся поступающим в институт. Найти математическое ожидание этой случайной величины.

Ответ:

35. Охотник, имеющий 4 патрона, стреляет по дичи до первого попадания или до израсходования всех патронов. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,6, при каждом последующем – уменьшается на 0,1. Необходимо: а) составить закон распределения числа патронов, израсходованных охотником; б) найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Ответ:

36. Из поступивших в ремонт 10 часов 7 нуждаются в общей чистке механизма. Часы не рассортированы по виду ремонта. Мастер, желая найти часы, нуждающиеся в чистке, рассматривает их поочередно и, найдя такие часы, прекращает дальнейший просмотр. Составить закон распределения числа просмотренных часов. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Ответ:

37. Имеются 4 ключа, из которых только один подходит к замку. Составить закон распределения числа попыток открывания замка, если испробованный ключ в последующих попытках не участвует. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

Ответ:

38. Абонент забыл последнюю цифру нужного ему номера телефона, однако помнит, что она была нечетная. Составить закон распределения числа сделанных им наборов номера телефона до попадания на нужный номер, если последнюю цифру он набирает наудачу, а набранную цифру в дальнейшем не набирает. Найти математическое ожидание и функцию распределения этой случайной величины.

Ответ:

39. Дана функция распределения случайной величины Х:

Найти: а) ряд распределения; б) М(Х), D(Х); в) построить многоугольник распределения и график F(х).

Ответ:

40. Даны законы распределения двух независимых случайных величин:

Х:	xi				и Y:	yi
pi	0,2	0,5	?	pi	0,4	?

Найти вероятности, с которыми случайные величины принимают значение 3, а затем составить закон распределения случайной величины 3X – 2Y и проверить выполнение свойств математического ожидания и дисперсий: M(3X – 2Y)=3M(X) – 2M(Y), D(3X – 2Y)=9D(X) + 4D(Y).

Ответ:

41. На двух автоматических станках производятся одинаковые изделия. Даны законы распределения числа бракованных изделий производимых в течение смены на каждом из них:

а) для первого б) для второго

Х:	xi				Y:	yi
pi	0,1	0,6	0,3	pi	0,5	0,5

Необходимо составить закон распределения числа производимых в течение смены бракованных изделий обоими станками; б) проверить свойство математического ожидания суммы случайных величин.

Ответ:

42. Одна из случайных величин задана законом распределения:

	xi	-1
pi	0,1	0,8	0,1

а другая имеет биноминальное распределение с параметрами п = 2, р = 0,6. Составить закон распределения их суммы и найти математическое ожидание этой случайной величины.

Ответ:

43. Случайные величины Х и Y независимы и имеют один и тот же закон распределения:

Значение
Вероятность	0,2	0,3	0,5

Составить закон распределения случайных величин 2Х и Х + Y. Убедиться в том, что 2Х ¹ Х + Y, но М(2Х) = М(Х + Y).

Ответ:

44. П

44. По данным примера 43 убедиться в том, что Х² ¹ XY. Проверить равенство М(XY) = [М(X)]².

Ответ:

45. Два стрелка сделали по два выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,6, для второго – 0,7. Необходимо: а) составить закон распределения общего числа попаданий; б) найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Ответ:

46. Пусть X, Y, Z – случайные величины: Х – выручка фирмы, Y- ее затраты, Z=X–Y – прибыль. Найти распределение прибыли Z, если затраты и выручка независимы и заданы распределениями:

Х:	xi				Y:	yi
pi	1/3	1/3	1/3	pi	1/2	1/2

Ответ:

47. Пусть Х – выручка фирмы в долларах. Найти распределение выручки в рублях Z = XY в пересчете по курсу доллара Y, если выручка не зависит от курса Y, а распределение X и Y имеют вид:

Х:	xi			Y:	yi
pi	0,7	0,3	pi	0,4	0,6

48. Сделано два высокорисковых вклада: 10 тыс. руб. в компанию А и 15 тыс. руб. в компанию В. Компания А обещает 50 % годовых, но может «лопнуть» с вероятностью 0,2. Компания В обещает 40 % годовых, но может «лопнуть» с вероятностью 0,15. Составить закон распределения случайной величины – общей суммы прибыли (убытка), полученной от двух компаний через год, и найти ее математическое ожидание.

49. Дискретная случайная величина Х задана рядом распределения:

Х:	xi
pi	0,2	0,3	0,3	0,1	0,1

Найти условную вероятность события Х < 5 при условии, что X > 2.

50. Случайные величины Х₁ и Х₂ независимы и имеют одинаковое распределение

xi
pi	1/4	1/4	1/4	1/4

а) Найти вероятность события Х₁ + Х₂ > 2.

б) Найти условную вероятность

51. Распределение дискретной случайной величины Х задано формулой р(Х=k)=Сk², где k = 1, 2, 3, 4, 5.

а) Найти константу С; б) вероятность события ½Х – 2½£ 1.

52. Распределение дискретной случайной величины Х определяется формулой P(X = k) = C/2^k, k = 1, 2, 3, …

Найти: а) константу С; б) вероятность Р(X£ 3).

53. Случайная величина Х, сосредоточенная на интервале [–1;3], задана функцией распределения Найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал [0; 2]. Построить график функции F(x).

54. Случайная величина Х, сосредоточенная на интервале [2; 6], задана функцией распределения Найти вероятность того, что случайная величина Х примет значения: а) меньше 4; б) меньше 6; в) не меньше 3; г) не меньше 6.

55. Случайная величина Х, сосредоточенная на интервале [1; 4], задана квадратичной функцией имеющей максимум при х = 4. Найти параметры a, b, c и вычислить вероятность попадания случайной величины Х в интервал [2; 3].

56. Дана функция

При каком значении параметра С эта функция является плотностью распределения некоторой непрерывной случайной величины Х? Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

57. Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти: а) плотность вероятности j(х); б) математическое ожидание М(Х); в)дисперсию D(X); г) вероятности Р(Х=0,5), P(X<0,5), P(0,5£X£1); д) построить графики j(х) и F(x) и показать на них математическое ожидание М(Х) и вероятности, найденные в п.г.

58. По данным примера 55 найти а) моду и медиану случайной величины Х;

59. По данным примера 55 найти коэффициент асимметрии и эксцесс случайной величины Х.

Студент должен знать:

- нормальный закон распределения непрерывной случайной величины и его основные характеристики;

Студент должен уметь:

- рассчитать вероятность попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону в данный интервал.

Литература: [5] стр.96-103.

Дата добавления: 2014-11-29