Примеры. Основные теоретические сведения

Основные теоретические сведения

Нормально распределенная случайная величина Х имеет плотность вероятности:

где , D(X)=σ².

Вероятность того, что нормально распределённая случайная величина Х попадёт в интервал (a; b) равна:

где

Вероятность того, что отклонение случайной величины, распределенной по нормальному закону, от математического ожидания не превысит величину (по абсолютной величине), равна:

, где .

− функция Лапласа (приложение 2, стр.80)

Пример 1. Масса вагона – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием 65 т. и средним квадратическим отклонением = 2,9 т. Найти вероятность того, что очередной вагон имеет массу не более 70 т, но не менее 60т.

Решение. Воспользуемся формулой:

, .

По таблице приложения 2 (стр.80) находим: , .

Таким образом:

.

Пример 2. Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 30 и 10. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (10, 50).

Решение. По условию:a =10, b=50, а =30, s =10, следовательно,

По таблице приложения 2 (стр.80) находим Ф(2) = 0,4772. Отсюда, искомая вероятность:

Р(10 < Х < 50) =2×0,4772=0,9544

Пример 3. Случайная величина Х распределена нормально. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение Х соответственно равны 20 и 10. Найти вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше трех.

Решение: Воспользуемся формулой

По условию

тогда

Пример 4. Случайная величина X, распределенная по нормальному закону, представляет собой ошибку измерения некоторого расстояния. При измерении допускается систематическая ошибка в сторону завышения на 1.2 (м); среднее квадратическое отклонение ошибки измерения равно 0.8 (м). Найти вероятность того, что отклонение измеренного значения от истинного не превзойдет по абсолютной величине 1.6 (м).

Решение. Ошибка измерения есть случайная величина X, подчиненная нормальному закону с параметрами a = 1.2 и σ = 0.8. Нужно найти вероятность попадания этой величины на участок от a = - 1.6 до b = 1.6. Имеем: х₁= a = -1.6, х₂ = b = 1.6,

t₁ = (-1.6 - 1.2)/0.8 = -3.5, t₂ = (1.6 - 1.2)/0.8 = 0.5.

Далее, с помощью таблицы приложения 2 (стр.80) находим:

Ф(0.5) = 0.1915 и Ф(-3.5) = -0.5 (так как значения нет в таблице приложения 2, стр.80).

Таким образом,

Пример5. Найти ту же вероятность, что и в предыдущем примере, но при условии, что систематической ошибки нет.

Решение. В данном случае имеем a = 0, тогда, в силу нечетности функции Ф(t), получаем:

Пример 6. Рост взрослого мужчины удовлетворительно описывается нормальным законом распределения. По статистике средний рост составляет 180 см, а среднеквадратическое отклонение равно 7 см. Найти вероятность того, что рост наугад взятого мужчины будет отличаться от среднего роста менее чем на 7 см.

Решение. Обозначим рост наугад взятого взрослого мужчины через X.

По условию задачи а=180, Δ=7, σ=7. Требуется найти .

Тогда .

Дата добавления: 2014-11-29