Выбор входных и выходных переменных

Этапы построения математической модели

Планирование эксперимента

Под планированием эксперимента понимается процедура выбора числа опытов и условий их проведения, необходимых для решения поставленной задачи с требуемой точностью. Все факторы, определяющие процесс, изменяются одновременно по специальным правилам, а результаты эксперимента представляются в виде математической модели,

1. сбор и анализ априорной информации;

2. выбор входных и выходных переменных, области экспериментирования;

3. выбор математической модели, с помощью которой будут представляться экспериментальные данные;

4. выбор критерия оптимальности и плана эксперимента;

5. определение метода анализа данных;

6. проведение эксперимента;

7. проверка статистических предпосылок для полученных экспериментальных данных;

8. обработка результатов;

9. интерпретация и рекомендации.

Входные переменные (будем называть их факторами) определяют состояние объекта. Основное требование к факторам — управляемость. Под управляемостью понимается установление нужного значения фактора (уровня) и поддержание его в течение всего опыта. В этом состоит особенность активного эксперимента. Факторы могут быть количественными и качественными. Примерами количественных факторов являются температура, давление, концентрация и т. п. Их уровням соответствует числовая шкала. Различные катализаторы, конструкции аппаратов, способы лечения, методики преподавания являются примерами качественных факторов. Уровням таких факторов не соответствует числовая шкала, и их порядок не играет роли.

Выходные переменные — это реакции (отклики) на воздействие входных переменных. Отклик зависит от специфики исследования и может быть экономическим (прибыль, рентабельность), технологическим (выход, надежность), психологическим, статистическим и т. д. Параметр оптимизации должен быть эффективным с точки зрения достижения цели, универсальным, количественным, выражаемым числом, имеющим физический смысл, быть простым и легко вычисляемым.

Обозначим наблюдаемый отклик через у, а факторы — через x₁, x₂, ….x_k. Выбор модели зависит от наших знаний об объекте, целей исследования и математического аппарата. При изучении кинетики химических процессов принято пользоваться дифференциальными уравнениями. Химические равновесия часто описываются дробно-рациональными функциями, а колебательные процессы в химических реакторах — тригонометрическими. Если вид функции неизвестен, то полезным оказывается ее представление в виде разложения в степенные ряды.

При определенных условиях такое разложение в многочлен возможно для всех непрерывных функций. На основании экспериментальных данных нужно получить некоторое представление о функции отклика η = f(x₁, x₂, ….., x_k ). Если аналитический вид этой функции неизвестен, то её можно представить в виде степенного ряда:

Пользуясь результатами эксперимента, можно получить лишь оценки параметров этой модели:

где — значение отклика, предсказанного этим уравнением. Оценки коэффициентов получают с помощью метода наименьших квадратов.

Дата добавления: 2014-11-29