Центр тяжести твердого тела

Сила тяжести тела - это сила, распределенная по его объему. Если выделить какую-либо малую частицу тела, то на нее будет действовать соответствующая сила тяжести (рис.2.51).

Для тел ограниченных размеров, расположенных на земной поверхности или близко к ней, силы, действующие на каждую частицу тела, на которые мы его разобьем, можно считать с большой точностью параллельными друг другу (на деле все эти силы направлены к центру Земли, т. е. представляют собой систему сходящихся сил).

Заменив в формулах (2.63) силы на силы тяжести частиц тела , получим формулы для вычисления координат центра тяжести тела:

; ; (2.64)

Формулы (2.64) приближенные; они тем точнее, чем на меньшие частицы мы разобьем тело. Если тело разбить на бесконечное число элементарных частиц, то конечная сила тяжести частицы перейдет в бесконечно малую , а знак суммы перейдет в интеграл по всему объему тела:

; ; (2.65)

Формулы (2.65) уже можно назвать точными.

Для абсолютно твердого тела центр тяжести есть неизменная геометрическая точка, не зависящая от положения тела в пространстве и зависящая от его формы и распределения в нем частиц. В зависимости от того, насколько тело однородно по своему объему, а также от его вида (объемное тело, пластина, пруток и т. д.) формулы (2.63) и (2.65) можно преобразовать в иные, более удобные для расчета.

Для однородного тела сила тяжести частицы Δ G_k= γ Δ V_k, где Δ V_k - объем k -й частицы, тогда сила тяжести тела будет G= γV, где - объем тела, γ - удельный вес. Подставляя эти выражения в формулы (2.65) и сокращая на удельный вес γ, получим

; ; . (2.66)

Если тело имеет вид пластины одинаковой толщины h во всех своих точках, то объемы можно записать как Δ V_k = h Δ S_k; V = hS, где S = ΣΔS_k,

где Δ S_k - площадь поверхности k -й части пластины; S — площадь поверхности всей пластины. Подставляя объемы в формулы (2.66), получим

; ; . (2.67)

Предположим, что тело имеет вид прутка (проволоки) одинакового сечения по всей длине. Тогда объемы можно записать так:

Δ V_k = δ Δ l_k; V = δL,

где L = Σ Δ l_k,; δ - площадь сечения прутка; Δ l_k - элемент длины прутка; L - общая его длина.

Подставив данные объемы в формулы (2.66) и сократив на δ, получим формулы:

; ; . (2.68)

В формулах (2.65) можно перейти от сил тяжести частиц к их массам, если записать, что

Δ G_k = g Δ m_k; G= gM,

где g – ускорение свободного падения; т_к - масса k - й частицы; М - масса всего тела.

Имеем:

; ; . (2.69)

Аналогичным образом для выражений (2.68)...(2.69) могут быть записаны и точные формулы, исходя из формул (2.65).

Дата добавления: 2014-11-29