Индивидуальная производная

Пусть А – некоторая гидродинамическая величина (векторная или скалярная). Для выделенной жидкой частицы эта величина будет зависеть от времени: A=A(t). Изменение А в предположении, что эта величина относится к фиксированной частице, характеризуется производной от А по времени, которая называется индивидуальной производной (А_и’). Рассмотрим, что представляет А_и’ в переменных Эйлера и Лагранжа.

1) Пусть А – функция переменных Эйлера. Для фиксированной частицы координаты в соответствии с законом ее движения будут функциями времени

x=x(t), y=y(t), z=z(t) (13)

Поэтому A(t)=A[x(t), y(t), z(t)];

А_и’= . (14)

Так как (13) - уравнения движения частицы, то

. (15)

2) Пусть А – функция переменных Лагранжа: А=А(а,b,c,t). Для выделенной частицы аргументы a,b,c фиксированы, изменяется только время. Потому

. (16)

Местная или локальная производная. Пусть в пространстве зафиксирована некоторая точка. Через эту точку в разные моменты времени проходят разные частицы. Каждой из них соответствует некоторая гидродинамическая величина A. В фиксированной точке пространства

A=A(t). (17)

Изменение A в фиксированной точке пространстве характеризуется производной А по времени, которая называется локальной производной по времени .

1. Пусть А – функция переменных Эйлера, т.е. A=A(x,y,z,t). Т.к. x,y,z фиксированы, то

. (17)

2. Пусть А – функция переменных Лагранжа: А=А(a,b,c.t). В разные моменты времени через точку М проходят разные частицы с разными значениями a,b,c. Но так как в каждый момент времени в точке М оказывается одна частица, то имеем

а=а(t), b=b(t), c=c(t).

Таким образом, для фиксированной точки пространства А=А[a(t), b(t), c(t)] и

. (18)

Эта формула приобретает значение, если известны производные . Вычислим их. Так как движение задано в переменных Лагранжа, то известна связь (2). Дифференцируя по t связь (2) и учитывая, что x,y,z фиксированы, получим

(19)

Система (19) – система трех линейных уравнений относительно . Якобиан системы не равен нулю. Решая (19) относительно и подставляя эти решения в (18), приходим к формуле для локальной производной

. (20)

Дата добавления: 2014-11-29