Напряженное состояние деформируемой среды

Когда сплошное тело приходит в движение, каждый элемент жидкости с течением времени в общем случае перемещается в новое положение и при этом деформируется. Движение жидкости будет полностью определено, если вектор скорости Ŵ будет задан, т.е. Ŵ=f(x,y,z,t). Поэтому должно существовать соотношение между составляющими скорости деформации и функцией Ŵ= Ŵ(x,y,z,t). Скорость, с которой элемент жидкости деформируется, зависит от относительного движения двух точек. Рассмотрим 2 близкие точки (A,B). При наличии поля скоростей т.А за промежуток времени dt совершает перемещение s= Ŵdt в положение , т. В с радиусом вектором dr по отношению к т.А перемещается в положение , расположенное относительно т.В согласно радиусу-вектору s+ds= (Ŵ+d Ŵ)dt.

Считаем, что в т.А составляющие скорости Ŵ есть u,v,w. Тогда составляющие скорости в т.В будут

(1)

.

Система (1) получена с учетом разложения в ряд Тейлора скорости Ŵ+d Ŵ, сохраняя при этом только члены первого порядка. Таким образом, относительное движение т.В относительно т. А будет описываться матрицей из 9 частных производных локального поля скорости

(2)

Преобразуем (1) составляющие относительной скорости du, dv, dw к виду:

(3)

Введенные символы имеют значения

(4)

и

. (5)

Заметим, что Ŵ.

Каждый член в (4), (5) имеет геометрическую и физическую интерпретацию или физический смысл.

Уравнения (3) определяют поле относительных скоростей, в котором du,dv,dw являются линейными функциями пространственных координат.

Смысл членов в (4), (5). Величины представляют удлинение элемента жидкости в направлении x,y,z соответственно. Общее удлинение есть Ŵ – объемное расширение или сжатие жидкости. Каждый из диагональных членов определяет скорость искажения прямого угла, лежащего в плоскости, нормальной к оси, индекс которой отсутствует в двойном индексе недиагонального члена матрицы (4). Это искажение сохраняет объем и изменяет только форму элемента жидкости.

Компоненты завихренности поля скоростей вектора Ŵ представляют угловые скорости мгновенного вращения элемента жидкости как твердого тела.

В общем случае движение элемента жидкости может быть разложено на 4 составляющих:

1) на чистое параллельное перемещение, определяемое составляющими скорости u,v,w.

2) на вращение как твердого тела, определяемое составляющими вектора Ŵ.

3) на объемное расширение, определяемое величиной Ŵ

4) на искажение геометрической формы, определяемое величинами .

Элементы матрицы (4) образуют систему составляющих симметричного тензора – тензора скоростей деформации.

Дата добавления: 2014-11-29