Потенциальные вихревые движения идеальной среды. Основные теоремы

Общая постановка задач о течении идеальной нетеплопроводной жидкости.

Система определяющих уравнений включает.

1. Уравнение неразрывности- .

2. Уравнение движения сплошной среды, которые в проекциях на оси координат имеют вид:

. (10)

(10) – уравнения Эйлера – уравнения движения идеальной жидкости.

3. Уравнение энергии. Т.к. жидкость нетеплопроводна, то . Имеем

.

3. Уравнение состояния – f(p,ρ,T)=0 и выражение для внутренней энергии E через какие-либо 2 величины из 3 (p,ρ,T).

Более подробно система имеет вид:

;

;

; (11)

;

;

f(p,ρ,T)=0.

Здесь E=E(p,T).

Зам.: Этой системе удовлетворяют все течения идеальной нетеплопроводной жидкости, как установившиеся, так и неустановившиеся, а также относящиеся к обтеканию жидкостью различных тел при разнообразных условиях.

Рассмотрим безвихревые движения, т.е. движения, для которых

(12)

или в проекциях на ост координат

. (13)

При выполнении (12) линейная дифференциальная форма будет полным дифференциалом некоторой функции φ для любого фиксированного момента времени. Иначе говоря, существует такая функция φ(x,y,z,t), для которой полный дифференциал при достаточном постоянном t вычисляется по формуле . Но поскольку

, то имеем . (14)

Т.е. компоненты скорости есть частные производные от функции φ(x,y,z,t) по координатам. Функцию φ наз. потенциалом скоростей, а безвихревые движения наз. потенциальными. Для установившихся движений φ =φ(x,y,z). Тогда (14) равносильны равенству , которое следует из (12).

Вихревые движения идеальной жидкости. Это движения, у которых вектор вихря во всех точках области или какой-либо ее части не равен нулю: Ω≠0. При изучении вихревых движений приходится иметь дело с такими понятиями, как циркуляция скорости и поток вектора вихря скорости через поверхность. Ниже рассматриваются основные теоремы вихревого движения идеальной жидкости (Стокса, Томсона, Лагранжа, Гельмгольца).

Теорема Стокса. Поток вектора вихря через поверхность S равен циркуляции скорости по контуру, ограничивающему эту поверхность: .

Теорема Томсона. Если жидкость идеальна, баротропна и массовые силы имеют потенциал, то циркуляция скорости по любому замкнутому контуру не зависит от времени.

Теорема Лагранжа. Пусть выполнены условия теоремы Томсона, т.е.жидкость идеальна, баротропна и массовые силы консервативны. Тогда, если в некоторый момент времени t₀ в фиксированной массе жидкости нет вихрей, то их не было в предыдущие и не будет в последующие моменты времени.

Теоремы Гельмгольца.

1 теорема. Если жидкие частицы в какой-либо момент времени t₀ образуют вихревую линию, то эти же частицы образуют вихревую линию во все последующие и все предыдущие моменты времени.

2 теорема. Интенсивность вихревой трубки постоянна по ее длине и не изменяется со временем.

Совокупность вихревых линий, проведенных через замкнутый контур, образует вихревую трубку. Интенсивностью вихревой трубки называют циркуляцию скорости по контуру, охватывающему трубку . Такое понятие имеет смысл, если интенсивность (т.е. циркуляция Г) не зависит от положения контура l по длине трубки. По теореме Стокса , S – поверхность, пересекающая вихревую трубку.

Глава 7. Статика жидкостей и их свойства. Основные законы равновесия

1. Уравнения равновесия жидкости и газа

Как отмечалось выше, в гидростатике рассматриваются законы равновесия жидкости (газа), находящейся в покое. Если жидкость (газ) находится в состоянии покоя от­носительно стенок сосуда, в котором она заключена, а сосуд покоится или движется с постоянной скоростью относительно земли, то покой называется абсолютным. Если жидкость покоится относительно стенок сосуда, а сосуд движется относительно земли с ускорением, то покой называется относи­тельным. Движение жидкости в случае относительного покоя можно рас­сматривать как переносное. Из приведенных определений вытекает, что в случае абсолютного покоя на жидкость действует сила тяжести, а в случае относительного покоя - сила тяжести и сила инерции переносного движения.

Так как в покоящейся жидкости скорости деформации ε_ik=0, то из рео­логического уравнения для вязкой жидкости (см.выше реологический закон) имеем

, (1)

то есть в покоящейся жидкости действуют только нормальные сжимающие напряжения.

Зам.: По Л. Прандтлю «жидкостью называется такое тело, в котором в состоянии равновесия всякое сопротивление деформации равно нулю». Из этого определения следует, что и, соответственно, ε_ik=0.

Величина этих напряжений не зависит от направления и равна давлению. Это давление называется гидростатическим.

Подставив соотношения (1) в уравнения движения сплошной среды в напряжениях, получим ():

. (2)

Уравнения (2) называются уравнениями Эйлера в гидростатике.

Умножив скалярно векторное уравнение (2) на единичный вектор , имеем

, (3)

то есть изменение давления в каком-либо направлении определяется про­екцией напряжения массовой силы F_s на это направление.

Умножим скалярные уравнения (2) на dx_j. Так как при равнове­сии p=p(x_i), то

. (4)

Поверхности, вдоль которых р = соnst, называются изобарами. Из ра­венств (4) следует, что уравнение изобары имеет вид

, (5)

где вектор dr лежит в плоскости, касательной к изобаре. Тогда из (5) вытекает, что напряжение массовой силы направлено по нормали к изобаре. Этот же вывод следует непосредственно из равенств (2).

Очевидно, что уравнения (2)-(5) в равной мере справедливы как для сжимаемых, так и для несжимаемых жидкостей.

Из уравнений (4) имеем, что

, (6)

где М₀, М -точки, в которых гидростатическое давление равно соответст­венно р₀ и р. Если напряжение массовой силы обладает потенциалом, то есть , то соотношение (6) принимает вид:

. (7)

2. Равновесие жидкости в поле силы тяжести

Рис. 6.1.

При рассмотрении равновесия жидкости в поле силы тяжести введем систему координат Oxyz, где ось O z направлена против ускорения силы тяжести ĝ ( см. рис.1). В этом случае П= -g z, Fx, = Fy = 0, Fz =-g и уравнение (4) принимает вид: . (8) В случае однородной несжимаемой жидкости р-const, из уравнения (6.8) имеем . (9)

Уравнение (9) справедливо для любой точки в объеме жидкости. Урав­нение изобары имеет в рассматриваемом случае вид

. (10)

Таким образом, при равновесии жидкости, находящейся в поле силы тя­жести, изобара представляет собой горизонтальную плоскость.

Для определения константы С в уравнении (9) необходимо задать гра­ничные условия. Пусть при z=z₀ p=p₀ (см. рис. 1). Тогда

p-p₀=ρg(z₀-z), (11)

или

. (12)

Обозначив z₀ -z=h, уравнение (11) можно представить в виде

p=p₀+ρgh. (13)

где pgh - давление, создаваемое столбом жидкости высотой h.

Уравнение (8), или (12), обычно называются основными уравнениями гидростатики.

Рис. 2.	Из (13) следует, что сила давления жидкости на дно сосуда с площадью основания S не зависит от его формы (рис. 2) и рав­на (p0 +ρgh)S. Данный результат обычно называется парадоксом Паскаля. [Бпез Паскаль (1623-1662). французский физик и математик]. Превышение абсолютного давления рабс над атмосферным pат, то есть разность pи=pабс-pа называется избыточным давлением. Величи­на pв =pа-pабс называется вакуумом.
Рис.3.	Рассмотрим некоторые примеры на применение уравнений гидростатики. 1. Сообщающиеся сосуды (рис. 3). Давление на свободных поверхностях с ко­ординатами z1 Z/ и z, одинаково. Следователь­но, они представляют собой участки одной изобарической поверхности и в соответствии с соотношением (6.9) z; = z-.. Этот же вывод следует из уравнения изобары (10). 2. Равновесие разнородных жидкостей. Пусть две несмешивающиеся жидкости с плотностями р1 и p2 находятся в состоянии равновесия. Давление при переходе через поверхность раздела меняется непрерывным образом. На поверхности раздела из уравнения (8) имеем dp=-ρ1gdz, dp =-ρ2 -gdz или p1,g dz = p2,g dz. Следовательно, dz =0 и граница раздела пред­ставляет собой горизонтальную плос­кость z =const.
Рис. 4.	3. Двухжидкостной манометр (рис. 4). Для определения разности давлений в системе, заполненной жидкостью плотности ρ1, исполь­зуется манометр с рабочей жидкостью плотно­стью ρ2. В точках 4 и 5, лежащих на горизон­тальной плоскости в одной и той же жидкости, p4=p5. В соответствии с уравнением (13)   откуда следует, что р1 - р2 =gh{ρ2-ρ1).

Рис. 5.

4. Пьезометрическая высота (рис. 5). Давление в несжимаемой жидко­сти можно измерять высотой столба этой же жидкости НП с помощью трубки А. Такая трубка называется пьезометриче­ской. Для точек 1 и 2 имеем: Тогда . (14) Давление в любой точке сосуда равно

Высота Н называется пьезометрической, а поверхность, проходящая через уровень в пьезометре - пьезометрической плоскостью. Если p₀> р_ат, то пьезометрическая плоскость

лежит выше свободной поверхности в сосуде, если p₀< р_ат, то ниже.

5. Равновесие тяжелого газа. Для газа, находящегося в равновесии в поле силы тяжести, из (7) имеем

(15)

Для вычисления интеграла в (15) необходимо задать зависи­мость р =p(ρ).

Ограничимся рассмотрением изотермического равновесия идеального газа при температуре Тb. Тогда ρ=p/(RT₀) и из (15) получим:

Разлагая это выражение в ряд, имеем:

Если

(16)

где ρ ₀ - плотность газа при давлении p₀ и температуре Т_о. Из формулы (16) следует, что если z - z₀ мало, то распределение давления в газе будет практи­чески таким же, как в несжимаемой жидкости. Для воздуха газовая постоянная R=287дж/(кг град). Пусть T₀=293°К. Тогда при z-z₀<85м погрешность, даваемая форму­лой (16), будет меньше 1%.

3. Относительный покой жидкости

Как уже указывалось, при рассмотре­нии относительного покоя жидкости под на­пряжением массовой силы в уравнени­ях (2) следует понимать равнодействую­щую напряжений силы тяжести и силы инерции переносного движения.

Рассмотрим задачу о вращении с посто­янной угловой скоростью ωсосуда с жидко­стью вокруг вертикальной оси Оz (рис. 6). На элемент жидкости массой ∆ m действует сила тяжести и центробежная сила, напря­жения которых равны

,

где ř ~ вектор, направленный по кратчайшему расстоянию от оси вращения к рассматриваемому элементу. Проекции этих напряжений на выбранные оси координат O.xyz равны

Подставив эти значения в уравнения (4) и (5), имеем

Интегрируя эти соотношения, получим

(17)

(18)

Рис.6.

Уравнение (17) дает закон распределения давления в жидкости, а со­отношение (18) представляет собой уравнение семейства изобар, представ­ляющих собой параболоиды вращения. Для определения константы С в уравнении (17) и уравнении свободной поверхности (18) рассмотрим точку А пересечения свободной поверхности с осью 0z. Точка А имеет координаты (0, 0, z0), а давление в этой точке рав­но р0. Тогда из уравнений (17) и (18) имеем С = р0 +gz0, С1=gz0 и

Для определения высоты Н параболоида положим в уравнении (20) r = R, где R - радиус сосуда.

Тогда

.

Из уравнения (20) имеем

,

где z₁ - координата точек пересечения вертикальных прямых r₁=const со свободной поверхностью. Подставив это соотношение в уравнение (19), получим

(21)

Таким образом, если отсчитывать координату z от свободной поверхно­сти, то распределение давления по вертикали во вращающемся сосуде будет таким же, как и в покоящейся жидкости. Это объясняется тем, что проекция силы инерции на ось 0z равна нулю.

Полученный результат следует также непосредственно из форму­лы (3). Действительно, в рассматриваемом случае

,

откуда после интегрирования сразу получается формула (21).

Рассмотрим теперь движение сосуда с жидкостью по наклонной плоско­сти с постоянным ускорением ā(рис. 7).

Рис. 7.

Проекции напряжения массовых сил на координатные оси равны где а - угол наклона плоскости к горизонту, . Подставив эти значения в уравнения (4) и (5), имеем

Из соотношения (23), представляющего собой уравнение семейства изобар, получим

(24)

то есть изобары представляют собой плоскости, наклоненные иод углом β к горизонту.

Интегрируя уравнение (22), получим закон распределения давления

Для определения константы интегрирования С положим, что в точ­ке H(x_o,0,z₀) р=р₀. Тогда

(25)

Рассмотрим некоторые частные случаи.

а) Спуск по вертикальной стене, то есть а =π/2. Из формулы (24) сле­дует, что β=0, z=const. Изобары представляют собой горизонтальные плос­кости. Из формулы (25) имеем

При свободном падении j = g и р = р₀, то есть давление во всех точках жидкости одинаково. Единственной действующей на жидкость силой будет поверхностное натяжение, под действием которого жидкость стягивается в шар.

б) Скольжение по плоскости без трения. В этом случае j=gsinαи из формулы (24) получим, что tgβ=tgα, то есть эквипотенциали параллель­ны плоскости скольжения. Из формулы (25) имеем

Дата добавления: 2014-11-29