Анализ линейной зависимости методом наименьших квадратов

Зависимость типа y = a + bx называется линейной. Для математического описания этой формы зависимости достаточно определить величину коэффициента b и свободного члена a в координатах y = f (x).

Рис. 9.2. Параметры линейной зависимости (объяснение в тексте)

В данном случае b – тангенс угла наклона функции b > 0, если функция возрастает и b < 0 в случае убывающей функции. Если же функция параллельна оси абсцисс, т.е. значения y_i не зависят от аргумента, то b = 0.

a = y₀ – ордината точки при x = 0. Величина свободного члена а положительна(a > 0), если точка пересечения функции с осью ординат лежит выше нуля; a < 0, если точка пересечения лежит ниже начала координат.

Метод наименьших квадратов основан на одном из свойств среднего арифметического значения: сумма квадратов отклонений от среднего меньше суммы квадратов отклонений от любой другой точки (см. 4. 3). Таким образом, вычисляя параметры a и b линейной функции, мы задаем такое положение линии, при котором сумма квадратов отклонений (расстояний) эмпирических (экспериментальных) точек от теоретически рассчитанной прямой минимальна.

Вычисление тангенса угла наклона функции (b)

где и . (9.1)

Таким образом, (9.2)

Другими словами, для вычисления тангенса угла наклона достаточно рассчитать две уже знакомые нам величины – дисперсию значений аргумента (S_xx) и ковариацию (S_xy).

Вычисление свободного члена (а) в уравнении линейной регрессии:

(9.3)

Дата добавления: 2014-11-29