Визначення і приклади

Відображення

Нехай задано дві множини Х і Y. Відображення f з множини Х в множину Y кожному елементу х з множини Х ставить у відповідність деякий (але єдиний) елемент f (х) з множини Y. Елемент f (х) називають образом елемента х при відображенні f. Символічно відображення записується наступним чином: f: Х ® Y чи X Y. У випадку Y = Х кажуть ще про відображення f множини Х в (на) себе.

Варто розрізняти відображення f і елемент f (x), що відповідає елементу х при цьому відображенні. Наприклад, неправильно (але зручно) казати „функція sin х ”, правильно – „функція sin”. Цю неточність звичайно виправляють, вказуючи, що задано функцію x ® sin x, чи, що функція f визначена рівністю f (х) = sin x.

Множина f ^-1(у) = { x | f (x) = y, x Î X } називається (повним) прообразом елемента y при відображенні f.

Якщо Х = {x1, x2, …, xn} тo відображення f: Х → Y, можна задати записом з двох рядків f = , де f (х_i) Î Y, i = 1, 2, …, n.

Наприклад, f : Х → Y, Х = {l, 2, 3, 4, 5}, Y = { а, b, c }, f = . Тоді повні прообрази - це f ^-1(a) = {1, 2, 5}, f ^-1(b) = {3}, f ^-1(c) = {4}.

Відображення часто ілюструють за допомогою діаграм (Рис. 8), де відповідність між елементами показують стрілками. Відображення задане в попередньому прикладі зображене на рис. 8.а. Відповідності рис. 8.б та рис. 8.в відображеннями не будуть, оскільки на рис. 8.б елемент 1 Î X не має образу в множині Y, а на рис. 8.в елементу 3 Î X ставиться у відповідність два елементи з множини Y, h (3) = b та h (3) = c.

Приклади відображень:

1) f (x) = є відображенням множини відмінних від нуля елементів множини дійсних чисел R в R. Було б неточно казати, що область визначення відображення співпадає з множиною R, оскільки х не може приймати всі дійсні значення. Але цілком можна розглядати відображення з R в R типу: g (x) = для x ≠ 0 і g (0) = 2 або відображення з R в R ₁: h (x) = для x ≠ 0 і h (0) = +∞, де множина R ₁ утворена об’єднанням R i деякого додаткового елемента +∞.

Рис. 8

2) Якщо, Х - множина дійсних функцій φ (х), визначених та інтегрованих на інтервалі [ a, b ], то інтеграл є відображенням з Х в множину дійсних чисел R.

3) Якщо X - множина кривих скінченної довжини на площині, то можна визначити відображення з Х в множину R ₊ додатних дійсних чисел, яке кожній кривій ставить у відповідність її довжину.

Дата добавления: 2014-11-29