Підмножина f -1(B) називається прообразом підмножини В при відображенні f

Очевидно, f ^-1(Ø) = Ø. Може виявитися, що f ^-1(B) = Ø при B ≠ Ø. Наприклад, f : х → х ² відображення множини R в R, тоді f ^-1({-1}) = Ø. Тим самим ми зв’язали з відображенням f відображення B → f ^-1(B) множини Р (Y) в множину Р (X). Це відображення зберігає символи Ì, È, Ç у тому сенсі, що коли А Ì В, то f ^{- 1}(A) Ì f ^{- 1}(B), f ^{- 1}(A È B) = f ^{- 1}(A) È f ^{- 1}(B), f ^‑1(A) Ç f ^‑1(B) = f ^‑1(A) Ç f ^‑1(B).

Рис. 9

Визначення прообразу підмножини зовсім не припускає бієктивності відображення f. У всякому разі, якщо y Î Y, тo можна говорити про f ^‑1({ y }), але це деяка підмножина множини Х, а не елемент множини X. Ця підмножина може містити більше одного елемента, а може виявитися і порожньою.

Тепер повернемося знову до властивостей ін’єктивності, сюр’єктивності та бієктивності відображень, враховуючи при цьому введені раніше визначення образу і прообразу підмножини.

Розглядаємо відображення f : Х → Y. Можна сказати, що це відображення сюр’єктивне, якщо для будь-якого елемента y Î Y його прообраз f ^‑1({ y }) відносно цього відображення не порожній. Іншими словами, для будь-якого елемента y Î Y існує такий елемент x Î Х, що y = f (х). Тоді f (Х) = Y і для довільного y Î Y справедлива умова f ^‑1({ y }) ≠ Ø.

Для скінченних множин Х и Y сюр’єктивнiсть відображення f : X → Y означає, що | Х | ≥ | Y |. Наприклад; f : {1, 2, 3, 4} → { y ₁, y ₂, y ₃}, f = - сюр’єктивне, a f = - не сюр’єктивнe.

Відображення f : X → Y ін’єктивне, якщо для будь-якого елемента y Î Y його прообраз f ^‑1({ y }) містить не більш одного елемента (порівняйте з раніше сказаним). Іншими словами f : X → Y ін’єктивне, якщо для будь-яких x ≠ x ₁, x, x ₁ Î Х, f (x) ≠ f (x ₁). Якщо Х і Y скінченні, то ін’єктивність відображення означає, що | Х | ≤ | Y |.

Наприклад, нехай Х = {l, 2, 3}, Y = { y ₁, y ₂, y ₃, y ₄}. Якщо f (1) = y ₁, f (2) = y ₂, f (3) = y ₃, то f : X → Y ін’єктивнe.

Бієктивне відображення f : X → Y є одночасно ін’єктивним та сюр’єктивним. Із сюр’єктивності випливає, що | f ^‑1({ y }) | ≥ 1 для будь-якого y Î Y, а з ін’єктивності випливає, що | f ^‑1({ y }) | ≤ 1 для кожного y Î Y. Отже, бієктивність f означає, що | f ^‑1({ y }) | = 1 для будь-якого y Î Y, тобто умова y = f (x) для кожного y Î Y однозначно визначає єдине значення x Î Х. Кажуть, що бієктивне відображення встановлює взаємно однозначну відповідність між множинами X та Y. При скінченних X та Y в цьому випадку | X | = | Y |.

Наприклад, X = (1, 2, 3), Y = { y ₁, y ₂, y ₃}, відображення f = - бієктивне.

Дата добавления: 2014-11-29