Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Композиція відображень





Множина відображень

Якщо Х та Y довільні множини, то можна говорити про деяку нову множину - множину відображень з множини X в множину Y. Наприклад, якщо Х = {x1, x2}, то множина відображень X в Y може бути бієктивно відображена в декартовий добуток Y2, бо кожне відображення X в Y повністю визначається парою (y1, y2) Î Y2 образів y1, y2 елементів x1, x2 з множини Х.

Далі, якщо Х = {x1, x2, …, xk} тo множину відображень X в Y можна бієктивно відобразитив декартовий добуток Yk, оскільки кожне таке відображення рівносильне заданню набору (у1, y2, ..., уk) Î Yk образів елементів x1, x2, …, xk при цьому відображенні.

Тому множину відображень Х в Y прийнято позначати YХ. Далі наведемо різні підмножини множини YХ.

1) множина неперервних відображень Х в Y, якщо Х та Y метричні простори;

2) множина лінійних відображень Х в Y, якщо X і Y векторні простори;

3) сім’ю (xj)j Î J елементів з X, помічених індексами з множини J, можна розглядати як відображення з множини J в множину Х. Множина сімей елементів з X, помічених індексами з J, є не чим іншим, як множиною ХJ відображень з J в X;

4) послідовність елементів з множини Х можна визначити як сім’ю елементів з X, помічених індексами з множини N натуральних чисел, або ж як відображення з N в Х. Множина всіх послідовностей елементів з Х є множиною ХN;

5) можна говорити про послідовність з індексамиз множини Z цілих чисел чи про скінченну послідовність, помічену індексами із скінченної множини цілих чисел1, 2, ..., k. Завжди слід уточнювати зміст виразу „послідовність” при неспівпаданні множини індексів з множиною натуральних чисел.

 

Нехай задано два відображення: f : XY та g: YZ. Тоді композицією відображень f і g (позначаємо символом gf) будемо називати відображення з множини X в множину Z, визначене виразом gf (x) = g(f (x)) для всіх елементів x з множини X. Прийняте правило, згідно з яким у композиції gf треба починати з відображення f, розташованого праворуч.



Нехай A Ì X, тоді gf (А) = g(f (A)), де f (А) – образ підмножини A при відображенні f. Якщо B Ì Z, тo (gf ) -1(B) = f -1(g-1(B)).

Композиція відображень асоціативна, тобто якщо маємо три відображення f : XY, g: YZ, h: ZU, то (hg) ○ f = h ○ (gf) = hgf.

Відображення g: YX називається оберненим до відображення f : XY, якщо виконуються такі умови f -1f = IX (IX - тотожне відображення на множині X), ff -1 = IY (IY - тотожне відображення на множині Y). Для відображення f існує обернене відображення f -1 тоді і тільки тоді, коли це відображення f є бієктивним. Обернене відображення f -1 також є бієктивним.

Якщо f :XY - бієкція й g: YZ - бієкція, то gf - бієкція з Х в Z, а її обернена бієкція дорівнює f -1g -1.

Нехай маємо відображення f : XY та підмножину A Ì X. Тоді відображення fA: AY, визначене виразом fA(х) = f (x) для x Î А, називається звуженням f на А и позначається f | А. Кажуть також, що f є продовженням на X відображення fA множини А в множину Y. Найчастіше в цьому випадку продовжують писати f замість fA. Аналогічно, якщо f : XY i f (X) Ì В, то f визначає деяке відображення fB: ХB, що задається виразом fB(х) = f(х). Практично завжди замість fB пишуть f.





Дата добавления: 2014-11-29; Просмотров: 1001; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2022) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.048 сек.