Композиція відображень

Множина відображень

Якщо Х та Y довільні множини, то можна говорити про деяку нову множину - множину відображень з множини X в множину Y. Наприклад, якщо Х = { x ₁, x ₂}, то множина відображень X в Y може бути бієктивно відображена в декартовий добуток Y ², бо кожне відображення X в Y повністю визначається парою (y ₁, y ₂) Î Y ² образів y ₁, y ₂ елементів x ₁, x ₂ з множини Х.

Далі, якщо Х = { x ₁, x ₂, …, x_k } тo множину відображень X в Y можна бієктивно відобразитив декартовий добуток Y^k, оскільки кожне таке відображення рівносильне заданню набору (у ₁, y ₂,..., у_k) Î Y^k образів елементів x ₁, x ₂, …, x_k при цьому відображенні.

Тому множину відображень Х в Y прийнято позначати Y^Х. Далі наведемо різні підмножини множини Y^Х.

1) множина неперервних відображень Х в Y, якщо Х та Y метричні простори;

2) множина лінійних відображень Х в Y, якщо X і Y векторні простори;

3) сім’ю (x_j) _{j Î J} елементів з X, помічених індексами з множини J, можна розглядати як відображення з множини J в множину Х. Множина сімей елементів з X, помічених індексами з J, є не чим іншим, як множиною Х^J відображень з J в X;

4) послідовність елементів з множини Х можна визначити як сім’ю елементів з X, помічених індексами з множини N натуральних чисел, або ж як відображення з N в Х. Множина всіх послідовностей елементів з Х є множиною Х ^N;

5) можна говорити про послідовність з індексамиз множини Z цілих чисел чи про скінченну послідовність, помічену індексами із скінченної множини цілих чисел1, 2,..., k. Завжди слід уточнювати зміст виразу „послідовність” при неспівпаданні множини індексів з множиною натуральних чисел.

Нехай задано два відображення: f : X → Y та g: Y → Z. Тоді композицією відображень f і g (позначаємо символом g ○ f) будемо називати відображення з множини X в множину Z, визначене виразом g ○ f (x) = g (f (x)) для всіх елементів x з множини X. Прийняте правило, згідно з яким у композиції g ○ f треба починати з відображення f, розташованого праворуч.

Нехай A Ì X, тоді g ○ f (А) = g (f (A)), де f (А) – образ підмножини A при відображенні f. Якщо B Ì Z, тo (g ○ f ) ^-1(B) = f ^-1(g ^-1(B)).

Композиція відображень асоціативна, тобто якщо маємо три відображення f : X → Y, g: Y → Z, h: Z → U, то (h ○ g) ○ f = h ○ (g ○ f) = h ○ g ○ f.

Відображення g: Y → X називається оберненим до відображення f : X → Y, якщо виконуються такі умови f ^-1 ○ f = I_X (I_X - тотожне відображення на множині X), f ○ f ^-1 = I_Y (I_Y - тотожне відображення на множині Y). Для відображення f існує обернене відображення f ^-1 тоді і тільки тоді, коли це відображення f є бієктивним. Обернене відображення f ^-1 також є бієктивним.

Якщо f : X → Y - бієкція й g: Y → Z - бієкція, то g ○ f - бієкція з Х в Z, а її обернена бієкція дорівнює f ^-1 ○ g ^-1.

Нехай маємо відображення f : X → Y та підмножину A Ì X. Тоді відображення f_A: A → Y, визначене виразом f_A (х) = f (x) для x Î А, називається звуженням f на А и позначається f | А. Кажуть також, що f є продовженням на X відображення f_A множини А в множину Y. Найчастіше в цьому випадку продовжують писати f замість f_A. Аналогічно, якщо f : X → Y i f (X) Ì В, то f визначає деяке відображення f_B: Х → B, що задається виразом f_B (х) = f (х). Практично завжди замість f_B пишуть f.

Дата добавления: 2014-11-29