Приклади розв’язання задач. 1. Використавши метод подвійного включення, перевірити справедливість твердження A (B Ç C) = (A B) Ç (A C)

1. Використавши метод подвійного включення, перевірити справедливість твердження A \ (B Ç C) = (A \ B) Ç (A \ C).

Розв’язування: Спочатку доведемо, що (A \ B) Ç (A \ C) Í A \ (B Ç C). Нехай довільне x Î (A \ B) Ç (A \ C), тоді, відповідно до означення перетину x Î (A \ B) і x Î (A \ C). За означенням різниці множин запишемо x Î A і x Ï B і x Î A і x Ï C. Використавши властивості комутативності, асоціативності та ідемпотентності логічної зв’язки „і” останнє перепишемо як x Î A і x Ï B і x Ï C. Звідси x Î A і x Ï (B È C), а отже x Î A \ (B È C). З останнього робимо висновок: якщо x Î (A \ B) Ç (A \ C), то x Î A \ (B È C), що не відповідає лівій частині заданого твердження, а отже твердження не є справедливим.

Перевірка зворотнього включення не має змісту, тому що навіть пряме не справдилося.

2. Використавши метод еквівалентних перетворень довести, що A Ç (B D C) = = (A Ç B) D (A Ç C).

Розв’язування: Аналізуючи праву та ліву частину твердження можна інтуїтивно відчути, що перетворення правої частини тотожності до лівої буде простішим. Отже:

(A Ç B) D (A Ç C) =
= =
= = =
= = =
= = =
= = A Ç (B È C) \ (B Ç C) =
= A Ç (B D C).

Тотожність доведено.

3. Дослідити властивості (ін’єктивність, сюр’єктивність та бієктивніть) відображення f: X → Y, де X = { прямокутники }, Y Í R ⁺, f (x) = площа (x).

Розв’язування: Введемо такі позначення. Довільний прямокутник x можна подати як впорядковану пару довжин його сторін (a_x, b_x) де a_x та b_x – додатні дійсні числа, тоді відображення f (x) = площа (x) визначатиметься виразом f (x) = s_x = a_x × b_x.

a) ін’єктивність. Візьмемо довільне s Î Y та виберемо прямокутник зі сторонами a_x і b_x = . Тоді для довільного a_x, площа f (x) = = s. Отже, довільне число прямокутників матимуть один образ s, тому задане відображення не є ін’єктивним;

б) сюр’єктивність. Подібно до наведених вище міркувань візьмемо довільне y Î Y та зафіксуємо одну із сторін прямокутника a_x = 1. Тоді b_x = y і для кожного додатнього цілого числа y Î Y у множині X знайдеться прямокутник зі сторонами (1, y). Значить, відображення сюр’єктивне;

б) бієктивність. Оскільки задане відображення не ін’єктивне, то за означенням воно не є бієктивне.

Дата добавления: 2014-11-29