Підмножина f (A) називається образом підмножини А при відображенні f

Образ і прообраз підмножини

Ін’єктивні, сюр’єктивні та бієктивні відображення

Відображення f множини Х в множину Y називають ін’єктивним, чи ін’єкцією, якщо два різних елементи з Х мають образами при відображенні f два різних елементи з Y (Рис. 9 а) та в)). Канонічна ін’єкція деякої підмножини в саму множину є ін’єктивним відображенням.

Відображення f називають сюр’єктивним, чи сюр’єкцією, якщо кожен елемент з Y є образом при відображенні f принаймні одного елемента з X (Рис. 9 б) та в)).

Відображення f називається бієктивним, чи бієкцією, якщо кожен елемент із Y є образом при відображенні f деякого, і при тому єдиного, елемента з X (Рис. 9 в). Відображення бієктивне тоді і тільки тоді, коли воно одночасно ін’єктивнe й сюр’єктивнe. Бієкція множини на себе називається також перестановкою чи перетворенням.

Визначивши поняття ін’єкції, сюр’єкції та бієкції, введемо поняття образу і прообразу підмножини, а потім ще раз повернемося до властивостей ін’єкції, сюр’єкції та бієкції.

Нехай маємо відображення f : X → Y та A – підмножина множини Х. Позначимо через f (A) підмножинy множини Y, утворенузі всіх елементів f (x), x Î A, тобто f (A) = { f (x) | x Î A }.

Наприклад: для відображення f = з множини Х ={l, 2, 3, 4} у множину Y = { y ₁, y ₂, y ₃} маємо f ({1, 3, 4}) = { y ₁, y ₃}.

Очевидно, що f (Ø) = Ø. Виходячи з відображення f, ми тим самим визначаємо деяке відображення A → f (A) множини Р (Х) у множину Р (Y). Це відображення зберігає символи Ì, È у тому сенсі, що коли А Ì B, то f (A) Ì f (B), f (A È B) = f (A) È f (B). Однак символ Ç при цьому відображенні не зберігається, бо має місце лише включення, тобто f (A Ç B) Ì f (A) Ç f (B). Дійсно, нехай f - постійне відображення, тобто f (x) = b для всіх x Î X, A i B – підмножини множини Х, що не перетинаються. Оскільки A Ç B = Ø, то f (A Ç B) = Ø і це не збігається з f (A) Ç f (B) = { b }.

Нехай тепер В є деякою підмножиною множини Y. Будемо позначати через f ^-1(В) підмножину множини Х, утворенуз усіх таких елементів х, що f (х) Î В, тобто f ^-1(B) = { x | x Î Х, f (x) Î B }.

Дата добавления: 2014-11-29