Трехмерная потенциальная яма. Яма конечной глубины

1. В случае трехмерной потенциальной ямы решение уравнения Шредингера

,

то есть уравнение

,

где

можно искать в виде

.

Подстановка этого решения в уравнение приводит к выражению

.

В левой части сумма трех независимых функций от x, y и z, а в правой константа. Это возможно только в том случае, когда каждое слагаемое в левой части также будет постоянной величиной. Обозначим эти константы: , , и получим три уравнения вида (84)

решения которых записываются аналогично (85)

, , .

Таким образом,

,

где - целые положительные числа.

В трехмерной потенциальной яме микрочастица имеет три степени свободы, поэтому ее состояние определяется тремя квантовыми числами, и собственные значения энергии также зависят от трех квантовых чисел

. (13)

В последнее время в связи с разработкой гетероструктур появилась возможность создания квантовых объектов с пониженной размерностью: квантовых поверхностей, квантовых проволок и квантовых точек.

Представление о квантовой плоскости мы получим, если представим, что один из размеров квантовой ямы существенно меньше остальных . В этом случае уровни энергии при изменении изменяются на величину

.

Аналогичные изменения энергии при изменении квантовых чисел и будут равны соответственно

, .

Из-за различия размеров соответствующие кванты энергии будут также сильно отличаться

.

Это значит, что вблизи уровня с энергией

Будет располагаться полоса энергетических уровней близко расположенных друг к другу (фактически возле каждого уровня будет образована энергетическая зона). Движение по оси является квантованным, а в плоскости его можно считать классическим.

Точно также если два размера существенно меньше третьего , то мы получаем модель квантовой проволоки. Движение по оси можно считать классическим а в плоскости квантованным. Возле энергетических уровней

.

будут располагаться системы близко расположенных энергетических уровней, создаваемые квантами малой энергии

.

4. В реальных ситуациях потенциальная яма не является бесконечно глубокой, а имеет конечную величину U ₀ (рис. 41). В этом случае волновая функция под потенциальным барьером отлична от нуля, характеризуется глубиной проникновения

и убывает по экспоненциальному закону. На границах ямы накладываются стандартные граничные условия, т.е. условия непрерывности волновой функции и ее первой производной. В целом решение задачи значительно сложнее, чем для бесконечно глубокой потенциальной ямы. Поэтому ограничимся только обсуждением результатов. Волновые функции внутри ямы представляют отрезки синусоид, а за пределами ямы являются экспонентами. Число узлов волновой функции на единицу меньше квантового числа n. Так для n = 1 волновая функция нигде не обращается в нуль, для n = 2 волновая функция имеет узел в центре ямы (рис. 42).

Число энергетических уровней теперь уже конечно. Оно уменьшается при уменьшении U₀. Аналитического выражения для собственных значений получить нельзя.

При существует только одно собственное значение, соответствующее нулевой энергии.

При E > U₀ энергетический спектр является сплошным (энергия может принимать любые значения).

Дата добавления: 2014-11-29