Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Одномерного гармонического осциллятора




Собственные значения и собственные функции

Освободившись от множителя перед второй производной, получим уравнение

, (1)

где

, . (2)

Точка является особой точкой уравнения. Поэтому решение этого уравнения ищут в виде

 

. (3)

Первый множитель такого решения устраняет из уравнения член . А для функции получается уравнение

. (4)

Отрицательный показатель экспоненты обеспечивает конечность волновой функции на бесконечности.

Введя безразмерную переменную

, (6)

уравнение (4) преобразуем к виду

. (7)

Решением этого уравнения будет . В этом случае параметр , а волновая функция

.

Это решение не имеет узлов, поэтому оно описывает основное состояние гармонического осциллятора. Ему соответствует нулевая энергия

.

Решением уравнения (7) будет также .

Действительно подстановка этого решения в (7) дает

.

Приравнивая нулю коэффициенты при разных степенях , получим

, .

Таким образом,

, .

Поэтому

, .

Волновая функция первого возбужденного состояния имеет один узел и его энергия больше нулевой энергии на .

В стационарном состоянии с энергией функция

должна иметь узлов. Это значит, что функция должна быть полиномом -й степени с некратными корнями. Эти полиномы называются полиномами Эрмита-Чебышева

.

Они являются решением уравнения (7)

.

Это уравнение должно выполняться при любых , т.е. коэффициенты при одинаковых степенях должны обращаться в нуль. Для определения собственных значений уравнения достаточно приравнять нулю коэффициент при старшей степени

.

Отсюда находим или

. (8)

При этом полиномы Эрмита-Чебышева должны удовлетворять уравнению

. (9)

Из условия (8) следует, что собственные значения уравнения Шредингера для гармонического осциллятора принимают дискретный ряд значений.

Энергетические уровни гармонического осциллятора расположены на одинаковых расстояниях друг от друга

.

Наименьшая энергия, которую имеет гармонический осциллятор – энергия нулевых колебаний

.

Наличие энергии нулевых колебаний находится в полном соответствии с принципом неопределенностей Гейзенберга: микрочастица никогда не может остановиться и иметь одновременно точное значение координаты и импульса .

Таким образом, теория Шредингера подтвердила правильность предположения Планка об эквидистантности значений энергии осцилляторов поля и о величине кванта энергии. Кроме того, квантовая теория предсказывает существование нулевых колебаний осциллятора, что соответствует принципу неопределенностей.

Решение уравнения (9) можно записать в виде

.

Множитель здесь введен для того, чтобы сделать положительным коэффициент при старшей степени положительным. Нормировочный множитель определяется из условия нормировки волновых функций и выражается формулой

.

Нормированный полином Эрмита-Чебышева описывается формулой

.

Выпишем несколько первых полиномов Эрмита-Чебышева

,

,

,

.

Нормированные волновые функции Эрмита разных состояний

ортогональны.

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-11-29; Просмотров: 500; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.014 сек.