Система двух взаимодействующих частиц

При классическом рассмотрении движение системы из двух частиц сводится к движению двух квазичастиц, одна из которых с массой описывает движение центра масс системы как единого целого, а вторая с массой - описывает относительное движение частиц системы в системе центра масс. Величина называется приведенной массой.

При квантовомеханическом анализе системы из двух микрочастиц мы будем считать, что гамильтониан системы складывается из операторов кинетической энергии обеих микрочастиц , и оператора энергии их взаимодействия , которая зависит от взаимного расположения микрочастиц. В случае центральных сил она является функцией только расстояния между частицами . Операторы Лапласа в операторах кинетической энергии имеют вид

, .

Через , обозначены координаты рассматриваемых микрочастиц.

Таким образом, стационарное уравнение Шредингера для системы из двух взаимодействующих микрочастиц имеет вид

. (1)

Так же как при классическом рассмотрении, перейдем к новым независимым переменным: координатам центра масс

и координатам первой частицы относительно второй

.

Проведя соответствующие преобразования, стационарное уравнение Шредингера (1) принимает вид

. (2)

Здесь , .

Оператор Гамильтона распадается на два независимых оператора, один из которых зависит только от , а другой только от . В соответствии с этим решение уравнение уравнения можно искать в виде . Это позволяет разделить переменные

.

Поделив обе части уравнения на , получим

.

В левой части этого уравнения две функции, зависящие от разных переменных, а в правой части постоянная величина. Это возможно только в том случае, если каждое слагаемое в левой части равно постоянным величинам, которые обозначим и , соответственно, причем .

Таким образом, уравнение Шредингера для двух взаимодействующих частиц распадается на два независимых уравнения для двух невзаимодействующих квазичастиц

,

,

одна из которых, имеет массу, равную сумме масс частиц, а масса второй равна приведенной массе.

Первое уравнение описывает независимое движение системы частиц как единого целого, а второе описывает относительное движение частиц в системе центра масс, как независимое движение второй квазичастицы относительно центра масс.

Дата добавления: 2014-11-29