Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Собственные функции оператора квадрата момента импульса




Уравнение для определения собственных функций и собственных значений оператора имеет вид

.

Введя обозначение

,

и записывая оператор Лапласа на сфере в явном виде, получим дифференциальное уравнение в частных производных

. (1)

Уравнение необходимо решить для всей области координат на сфере (, ). Поэтому собственные функции оператора квадрата момента импульса зависят только от угловых координат. Они называются сферическими функциями и используются в различных разделах физики (в акустике, электродинамике, метеорологии, и т.д.). Так как собственные функции операторов квадрата момента и проекции момента на ось являются общими, то решение этого уравнения отыскивается методом разделения переменных, полагая

.

Подстановка этого решения в уравнение, приводит к выражению

В этом выражении приравниваются функции, зависящие от разных аргументов, что возможно, если они равны постоянной величине, которую мы обозначили . В результате разделения переменных мы получили два обыкновенных дифференциальных уравнения

, (2)

. (3)

Волновая функция оператора проекции момента импульса удовлетворяет уравнению (3).

Уравнение (2) имеет непрерывные однозначные конечные решения только при строго определенных значениях параметра

, , 1, 2, 3,....

Это значит, что квадрат момента импульса принимает дискретный ряд значений

.

Отметим только, что решения уравнения (2) зависят от двух чисел и . Сделав замену переменной в уравнении, его решения представляют собой присоединенные полиномы Лежандра.

,

где

- полиномы Лежандра

Процедура решения уравнения (2) выходит за рамки курса общей физики. Поэтому мы ограничимся приведением сферических волновых функций для нескольких небольших квантовых чисел

,

, , ,

, , .

Сферические волновые функции позволяют определить вероятность того, что микрочастица (квазичастица), находящаяся в состоянии, описываемом волновой функцией , будет находиться в элементе телесного угла

.

Поэтому эта вероятность не зависит от угла . Это означает, что в плоскости, перпендикулярной оси распределение вероятности имеет осевую симметрию.

Угловое распределение вероятности зависит от квантовых чисел и , т.е. от величины момента импульса и величины его проекции на ось .


Состояние с ( -состояние) обладает сферической симметрией распределения вероятности, так как . Поэтому

.

Такие состояния являются сферически симметричными и обозначаются буквой s.

Для l = 1 состояния с различными значениями магнитного квантового числа имеют различную направленность в угловом распределении плотности вероятности. Такие состояния обозначаются буквой p.

, .

Для l =2 число состояний увеличивается до пяти и направленность электронных облаков увеличивается (лепестки распределений сужаются).

, ,

.

Соответствующие распределения угловой плотности вероятности показаны на рисунке.

Состояния с l =2,3,4,... обозначаются буквами d, f, g,.., соответственно.

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-11-29; Просмотров: 977; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.011 сек.