Собственные функции оператора квадрата момента импульса

Уравнение для определения собственных функций и собственных значений оператора имеет вид

.

Введя обозначение

,

и записывая оператор Лапласа на сфере в явном виде, получим дифференциальное уравнение в частных производных

. (1)

Уравнение необходимо решить для всей области координат на сфере (, ). Поэтому собственные функции оператора квадрата момента импульса зависят только от угловых координат. Они называются сферическими функциями и используются в различных разделах физики (в акустике, электродинамике, метеорологии, и т.д.). Так как собственные функции операторов квадрата момента и проекции момента на ось являются общими, то решение этого уравнения отыскивается методом разделения переменных, полагая

.

Подстановка этого решения в уравнение, приводит к выражению

В этом выражении приравниваются функции, зависящие от разных аргументов, что возможно, если они равны постоянной величине, которую мы обозначили . В результате разделения переменных мы получили два обыкновенных дифференциальных уравнения

, (2)

. (3)

Волновая функция оператора проекции момента импульса удовлетворяет уравнению (3).

Уравнение (2) имеет непрерывные однозначные конечные решения только при строго определенных значениях параметра

, , 1, 2, 3,....

Это значит, что квадрат момента импульса принимает дискретный ряд значений

.

Отметим только, что решения уравнения (2) зависят от двух чисел и . Сделав замену переменной в уравнении, его решения представляют собой присоединенные полиномы Лежандра.

,

где

- полиномы Лежандра

Процедура решения уравнения (2) выходит за рамки курса общей физики. Поэтому мы ограничимся приведением сферических волновых функций для нескольких небольших квантовых чисел

,

, , ,

, , .

Сферические волновые функции позволяют определить вероятность того, что микрочастица (квазичастица), находящаяся в состоянии, описываемом волновой функцией , будет находиться в элементе телесного угла

.

Поэтому эта вероятность не зависит от угла . Это означает, что в плоскости, перпендикулярной оси распределение вероятности имеет осевую симметрию.

Угловое распределение вероятности зависит от квантовых чисел и , т.е. от величины момента импульса и величины его проекции на ось .

Состояние с ( -состояние) обладает сферической симметрией распределения вероятности, так как . Поэтому

.

Такие состояния являются сферически симметричными и обозначаются буквой s.

Для l = 1 состояния с различными значениями магнитного квантового числа имеют различную направленность в угловом распределении плотности вероятности. Такие состояния обозначаются буквой p.

, .

Для l =2 число состояний увеличивается до пяти и направленность электронных облаков увеличивается (лепестки распределений сужаются).

, ,

.

Соответствующие распределения угловой плотности вероятности показаны на рисунке.

Состояния с l =2,3,4,... обозначаются буквами d, f, g,.., соответственно.

Дата добавления: 2014-11-29