Часть I

Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера

Рассмотрим систему уравнений:

(1)

где х,у,z – неизвестные; коэффициенты а ₁₁, а ₁₂,…., а ₃₃ и свободные члены ₁, ₂, ₃ – известные постоянные (числа)

Введем обозначения:

;

Определитель , составленный из коэффициентов при неизвестных системы (1), называется определителем данной системы.

Определители , получаются из определителя при помощи замены соответственно его первого, второго и третьего столбца – столбцом свободных членов данной системы.

Если то система (1) имеет единственное решение; оно определяется формулами:

(2)

Формулы (2) называются формулами Крамера.

Если определитель системы а хотя бы один из определителей , отличен от нуля, то система (1) не имеет решений.

В случае, когда и одновременно , система (1) также может не иметь решений; но если система в этом случае имеет хотя бы одно решение, то она имеет бесконечно много решений.

Решение типового примера.

Пусть требуется, используя формулы Крамера, решить систему

Вычислим сначала главный определитель системы , воспользовавшись следующим правилом вычисления определителей третьего порядка:

= .

У нас

Так как делаем вывод о том, что система имеет единственное решение. Найдём его. Вычислим вспомогательные определители , .

;

;

.

Далее, воспользовавшись формулами Крамера, окончательно получим

.

Осуществим проверку правильности полученного решения, подставив его в каждое уравнение заданной системы:

Все три равенства верные, поэтому делаем вывод о правильности полученного решения.

Ответ: х = 0; у = –1; z = 2.

Часть II

Матричный метод решения системы линейных уравнений.

Рассмотрим систему линейных уравнений

(1)

Обозначим через А – матрицу коэффициентов при неизвестных; X – матрицу – столбец неизвестных х, у, z; В – матрицу – столбец свободных членов ₁, ₂, _3:

А = ; Х = ; В =

С учетом этих обозначений данная система уравнений (1) принимает следующую матричную форму:

(2)

Если матрица А – невырожденная (ее определитель отличен от нуля), то она имеет обратную матрицу . Умножив обе части уравнения (2) на , получим:

.

но (Е – единичная матрица), а , поэтому

(3)

Равенство (3) называется матричной записью решения системы линейных уравнений (1). Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу .

Пусть имеем невырожденную матрицу

, ее определитель

Тогда

= (4)

где А j ( =1, 2, 3; j=1, 2. 3) – алгебраическое дополнение элемента _ij в определителе матрицы А, которое является произведением на минор (определитель второго порядка), полученный вычеркиванием -ой строки и j-го столбца в определителе матрицы А.

Решение типового примера.

Данную систему уравнений записать в матричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы.

Обозначим матрицы

; Х = ; В = .

Тогда матричная форма записи данной системы будет

,

или

=

Найдем обратную матрицу для матрицы А. Для этого:

1) Вычислим определитель матрицы А.

=

Получили . Следовательно матрица А имеет обратную матрицу .

2) Найдем алгебраические дополнения для каждого элемента определителя матрицы А.

3) Обратная матрица будет иметь вид:

4) Проверим правильность полученной обратной матрицы (произведение обратной матрицы на матрицу А должно быть равно единичной матрице Е).

Получили единичную матрицу. Значит обратная матрица найдена верно.

Находим решение данной системы уравнений в матричной форме

Получили , следовательно х = 3; у = 0; z = –2.

Проверим правильность полученного решения, подставив его в каждое уравнение заданной системы:

Все три равенства верные, поэтому делаем вывод о правильности полученного решения.

Ответ: х = 3, у = 0, z = –2

Часть III

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.

При решении системы линейных уравнений часто применяется метод Гаусса. Сущность этого метода поясним на примерах.

1. Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными

Решение.

Исключим из последних двух уравнений х₁. Для этого умножим первое уравнение на -5 и результаты прибавим соответственно ко второму уравнению, затем обе части первого уравнения умножим на -3 и результаты прибавим к третьему уравнению. В результате получим систему, эквивалентную данной:

(1)

Разделив обе части второго уравнения системы (1) на 2, получим систему

(2)

Теперь исключим из третьего уравнения системы (2) х₂.

Для этого обе части второго уравнения этой системы умножим на — 7 и результаты прибавим к третьему уравнению. В результате получим систему

(3)

Откуда х₃ =3, х₂=1 и х₁=–2. Это решение заданной системы

Приведение данной системы к ступенчатому виду (3) практически более удобно, если использовать преобразования расширенной матрицы данной системы, т. е. матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных и свободных членов. Для удобства столбец свободных членов этой матрицы отделим вертикальной чертой. Расширенная матрица данной системы имеет вид

.

Умножим элементы первой строки матрицы на — 5 и результаты прибавим к элементам второй строки, затем умножим элементы первой строки на — 3 и результаты прибавим к элементам третьей строки. Получим матрицу

.

Разделив элементы второй строки на 2, получим

.

Элементы второй строки умножим на — 7 и результаты прибавим к элементам третьей строки. Получим матрицу

,

которая позволяет данную систему привести к виду (3) и затем решить ее.

1. Рассмотрим систему уравнений

Решение. Составим расширенную матрицу системы:

Умножим элементы первой строки последовательно на -2, -4 и -5. Полученные результаты прибавим соответственно к элементам второй, третьей и четвертой строкам. Получим матрицу

Элементы второй строки умножим на 6 и результаты прибавим к элементам третьей строки, затем элементы второй строки прибавим к элементам четвертой строки. Получим матрицу

Элементы третьей строки разделим на -2 и затем элементы четвертой строки прибавим к элементам третьей строки. Получим матрицу

Теперь элементы третьей строки умножим на 13 и результаты прибавим к элементам четвертой строки. Получим матрицу

Следовательно, данную систему можно записать так:

Откуда х₄ =0, х₃=2, х₂=–1 и х₁=–3.

Матрицы, получаемые после соответствующих преобразований, являются эквивалентами. Их принято соединять знаком ~.

Дата добавления: 2014-12-27