Динамика поступательного движения

Свободное падение тел

Свободным падением тела называется движение тела в поле силы тяжести с ускорением g=9,81 м/с².

Падение тела – равноускоренное движение.

Движение тела вверх –равнозамедленное движение.

Уравнения движения тела при свободном падении:

Движение тела, брошенного горизонтально с некоторой высоты

Уравнения движения тела:

Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Уравнения движения тела на I этапе:

Уравнения движения тела на II этапе:

Максимальная высота подъема тела:

В любой точке траектории скорость:

В скалярной форме

В момент приземления

I закон Ньютона (закон инерции): существуют такие системы отсчета, относительно которых тело сохраняет состояние покоя или скорость постоянной, если на него не действуют другие тела (или действия других тел на него скомпенсированы).

Тело, не подверженное внешним воздействиям, называется свободным.

Явление сохранения скорости тела постоянной (в частности, равной нулю) называется инерцией.

Системы отсчета, относительно которых тела движутся с постоянной скоростью или покоятся при компенсации внешних воздействий на них, называются инерциальными (ИСО).

Инертность – свойство тел, состоящее в том, что для изменения скорости тела требуется некоторое время. Свойство инертности характеризуется массой.

Масса тела – физическая величина, являющаяся одной из характеристик материи, определяющая ее инерционные (инертная масса) и гравитационные свойства (гравитационная масса).

Воздействие тел друг на друга характеризуется силой.

Сила – векторная физическая величина, являющаяся количественной характеристикой воздействия одного тела на другое.

Если к какому-нибудь телу приложено несколько сил, то сила, равная геометрической сумме всех приложенных к нему сил, называется результирующей силой(принцип суперпозиции):

(2.1)

Силы в механике:

· сила гравитационного взаимодействия (закон Всемирного тяготения): сила, с которой два тела притягиваются друг к другу, прямо пропорциональна массам этих тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними

, (2.2)

где – радиус – вектор тела 2 относительно тела 1,

- гравитационная постоянная,

- массы взаимодействующих тел;

· сила упругости – сила, возникающая при упругой деформации и направленная в сторону, противоположную перемещению частиц тела при деформации

(2.3)

где k – коэффициент упругости (жесткости),

смещение системы из положения равновесия,

координаты тела в конечном и начальном положениях, соответственно;

· сила тяжести – сила, с которой Земля притягивает тело:

(2.4)

где m – масса тела,

– ускорение силы тяжести (свободного падения);

· вес тела – сила, приложенная со стороны тела к опоре или подвесу, ограничивающая свободное перемещение тела в поле сил земного тяготения; вес тела может быть равен, а также больше или меньше силы тяжести:

, (2.5)

где знак «+» выбирается при движении тела вверх, или знак «-» - при движении тела вверх;

· сила трения – сила, возникающая при движении или попытке движения соприкасающихся тел относительно друг друга и направленные по касательной к трущимся поверхностям в сторону, противоположную движению (сила трения скольжения, сила трения покоя, сила трения качения):

, (2.6)

где - коэффициент трения,

N – сила реакции опоры (нормального давления).

II закон Ньютона (в дифференциальной форме): скорость изменения импульса (производная от импульса по времени) материальной точки равна равнодействующей всех сил, действующих на нее

, (2.7)

где m – масса точки,

- скорость поступательного движения точки,

– импульс материальной точки ().

Разделяя переменные в (2.7), и переходя к интегрированию, получим закон изменения импульса точки:

, (2.8)

где интеграл называется импульсом силы.

Если , то , и такое движение называется движением по инерции.

Из (2.8) следует, что изменение импульса материальной точки, равное импульсу силы, имеет геометрический смысл площади криволинейной трапеции.

Выражение (2.8) в проекциях на оси декартовой системы координат:

(2.9)

II закон Ньютона (в интегральной форме): ускорение тела пропорционально результирующей силе, действующей на него, и обратно пропорционально его массе:

. (2.10)

Вектор результирующей силы и ускорения тела направлены в одну сторону (.

При движении материальной точки по криволинейной траектории, сила в (2.10), действующая на нее, может быть представлена в виде двух составляющих – тангенциальной и нормальной.

Тангенциальная составляющая

(2.11)

Нормальная составляющая силы

(2.12)

III закон Ньютона: тела действуют друг на друга с силами, равными по модулю и противоположными по направлению (при этом силы приложены к разным телам)

(2.13)

где и - силы, действующие со стороны второй точки на первую, и со стороны первой на вторую, соответственно.

Любое тело или совокупность тел представляет собой множество материальных точек, называемое системой материальных точек.

Если система с течением времени не меняется, то говорят, что она не изменяет своего состояния. Состояние системы материальных точек в механике определяется одновременным заданием координат и скоростей (или импульсов) всех материальных точек, входящих в систему.

Полный импульс системы материальных точек равен векторной сумме импульсов всех материальных точек, входящих в систему

(2.14)

Система материальных точек (тел) называется замкнутой или изолированной, если она не испытывает никакого воздействия со стороны окружающих тел.

Закон сохранения импульса: полный импульс замкнутой (изолированной) системы материальных точек есть величина постоянная, то есть не изменяется со временем

(2.15)

При упругом взаимодействии двух тел выполняется закон сохранения импульса

(2.16)

где – скорости первого и второго тела до взаимодействия, соответственно, – скорости первого и второго тела после взаимодействия, соответственно.

При не упругом взаимодействии двух тел выполняется закон сохранения импульса

(2.17)

где – скорости первого и второго тела до взаимодействия, соответственно, – скорость первого и второго тел как единого целого после взаимодействия, соответственно.

Центром масс (центром инерции) механической системы материальных точек называется точка пространства, положение которой определяется радиус–вектором

(2.18)

или

, (2.19)

где X, Y, Z – проекции радиус–вектора центра масс,

, , – единичные векторы (орты).

Координаты радиус–вектора центра масс:

,

(2.20)

.

Импульс механической системы материальных точек можно представить как произведение массы системы

на скорость поступательного движения ее центра масс :

, (2.21)

где – скорость поступательного движения центра масс,

– масса i – й материальной точки.

Проекции вектора скорости центра масс на оси декартовой системы координат:

,

(2.22)

,

где , , – проекции вектора скорости центра масс,

, , – проекции вектора скорости i – й материальной точки.

Учитывая выражение для импульса системы материальных точек

и II закона Ньютона (в дифференциальной форме)

,

получим выражение II закона Ньютона для системы материальных точек (теорема о движении центра масс): центр масс системы материальных точек движется как материальная точка, масса которой равна суммарной массе всей системы, а действующая сила равна векторной сумме всех внешних сил, действующих на систему

. (2.23)

Дата добавления: 2014-12-27