Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Функция распределения вероятностей случайной величины




Определение: Функцией распределения вероятностей (или кратко – функцией распределения) называется функция F(x), определяющая вероятность того, что случайная величина X в результате испытания примет значение, меньшее x ( ), т.е. F(x) = P(X < x).

Геометрический смысл: Функция распределения вероятностей F(x) – это вероятность того, что случайная величина X примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки x.

Заметим, что F(x) – одна из форм задания закона распределения вероятностей. Это особенно важно для непрерывной случайной величины, которую нельзя задать в виде таблицы.

Теперь можно дать более точное определение непрерывной случайной величины.

Определение: Случайную величину называют непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной.

Рассмотрим основные свойства функции распределения:

Свойство 1: Значения функции распределения принадлежат отрезку [0, 1]:

Доказательство: Свойство вытекает из определения функции распределения как вероятности: вероятность – неотрицательное число, не превышающее единицы.

Свойство 2: Функция распределения вероятностей F(x) – неубывающая функция, т.е. F(x2) ≥ F(x1), если x2 > x1.

Доказательство: Пусть x 2 > x 1. Событие A = (X < x2) можно подразделить на два несовместных события: X < x1 с вероятностью P(X < x1); x 1 X < x 2 с вероятностью P(x1 ≤ X < x2).

По теореме сложения несовместных событий имеем:

А это означает, что

Так как любая вероятность – число неотрицательное, то

Из этого свойства вытекают три следствия. Рассмотрим их.

Следствие 1: Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в промежутке [a, b), равна приращению функции распределения вероятностей на этом промежутке:

 

Доказательство: При x2 = b, x1 = a это утверждение вытекает из формулы .

Пример: С лучайная величина X задана функцией распределения:

Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, принадлежащее [0; 2), т.е.

Решение:

Следствие 2: Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет одно определённое значение, равна нулю.

Доказательство: Рассмотрим формулу

Положим a = x 1, b = x 1 + Δ x, тогда получим:

Устремим Δ x к нулю. Так как X – непрерывная случайная величина, то ее функция распределения F(x) непрерывна. В силу непрерывности F(x) в точке x 1 имеем:

Таким образом,

Следствие 3: Если X – непрерывная случайная величина, то:

 

Доказательство: Докажем, что

Разобьем интересующее нас событие на два несовместных события и воспользуемся теоремой о вероятности суммы несовместных событий:

Для непрерывной случайной величины вероятность попасть в точку равна нулю:

Тогда получаем

Аналогично доказываются остальные равенства.

Пример: На практике интересуются вероятностью того, что размеры деталей не выходят за дозволенные границы, но не ставят вопрос о вероятности их совпадения с проектным размером.

Заметим, что для непрерывной случайной величины факт P(X = x1) = 0 не означает, что событие X = x1 невозможно. В результате испытания случайная величина обязательно примет одно из возможных значений. В частности, это значение может оказаться равным x 1.

Свойство 3: Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a, b), то:

1) F(x) = 0 при x ≤ a;

2) F(x) = 1 при x ≥ b.

Доказательство: 1) Рассмотрим x 1a. Тогда событие, состоящее в том, что X < x 1, невозможно, так как значения X принадлежат интервалу (a, b).Следовательно, P(X < x1) = 0.

2) Рассмотрим x 2b. Событие X < x 2 достоверно (т.к. все возможные значения X меньше x 2). Следовательно, P(X < x2) = 1.

Из этого свойства, очевидно, вытекает следствие.

Следствие: Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси ОХ, то справедливы следующие предельные соотношения:

Доказанные свойства позволяют представить, как выглядит график функции распределения вероятностей непрерывной случайной величины.

Из первого свойства следует, что график расположен в полосе, ограниченной прямыми y = 0, y = 1.

Из второго свойства следует, что при увеличении x внутри интервала (a; b) график представляет собой график неубывающей функции.

Из третьего свойства следует, что при xa функция принимает нулевое значение (y = 0), а при xb функция равна единице (y = 1).

Таким образом, график функции распределения вероятностей F(x) непрерывной случайной величины может иметь вид:

a a
F(x)
0
b
 
x

График функции распределения вероятностей F(x) дискретной случайной величины имеет ступенчатый вид.

Если закон распределения вероятностей дискретной случайной величины задан в виде таблицы:

X
P

 

Если x ≤ x 1, то P(X < x) = 0 по свойству 3.

Если x 1 < x ≤ x 2, то P(X < x) = P(X = x1) = p1.

Если x 2 < x ≤ x 3, то по теореме о вероятности суммы несовместных событий P(X < x) = P(X = x1) + P(X = x2) = p1 + p2.

Если x 3 < xx 4, то P(X < x) = p1 + p2 + p3.

Если x > x 4, то P(X < x) = 1, так как данное событие достоверно.

Тогда график функции распределения вероятностей F(x) имеет вид:

F(x)
1
р1+p2+p3
р1+p2
р1
х1
х 2
х3
х 4
x

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-12-27; Просмотров: 2954; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.021 сек.