Формула полной вероятности

Теорема: Вероятность события , которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий , Н₂,…, , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события :

Р( ) = Р( ) Р( / )+ Р( ) Р( / )+…+ Р( ) Р( / ).

Эта формула называется формулой полной вероятности.

События , Н₂,…, называют гипотезами.

Доказательство: По условию, событие может наступить, если наступит одно из несовместных событий Н₁, , …, . Следовательно, появление события означает осуществление одного (безразлично какого) из несовместных событий: , , …, .

По теореме сложения имеем:

Р( )= Р( ) + Р( ) + … + Р( ).

По теореме умножения вероятностей зависимых событий получаем:

Р( ) = Р( ) Р( / ); …; Р( ) = Р( ) Р( / ).

В итоге получаем:

Р( ) = Р( ) Р( / )+ Р( ) Р( / )+…+ Р( ) Р( / ).

Пример: В трех (одинаковых с виду) коробках лежат шоколадные конфеты. В первой коробке половина конфет – «Белочка» и половина – «Грильяж». Во второй коробке две трети – «Белочка», одна треть – «Грильяж». В третьей коробке только «Грильяж». Из наудачу выбранной коробки взяли конфету. Найти вероятность того, что это – «Белочка».

Решение: Пусть событие – конфета «Белочка».

Возможны гипотезы:

– выбрали первую коробку,

– выбрали вторую коробку,

– выбрали третью коробку.

Вычислим вероятности гипотез и условные вероятности:

Р( ) = Р( ) = Р( ) = ,

Р( / ) = , Р( / ) = , Р( / ) = 0.

По формуле полной вероятности получаем:

Р( )=Р( ) Р( / ) + Р( ) Р( / ) + Р( ) Р( / )=

= + = .

Дата добавления: 2014-12-27