Аксиоматика А.Н. Колмогорова

В системе аксиом, предложенных А.Н. Колмогоровым [4], неопределяемыми понятиями являются элементарное событие и вероятность.

Приведем аксиомы, определяющие вероятность:

1) Каждому событию A поставлено в соответствие неотрицательное действительное число P(A). Это число называется вероятностью события A.

2) Вероятность достоверного события равна единице:

P(Ω) = 1.

3) Вероятность наступления хотя бы одного из попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Исходя из этих аксиом, свойства вероятностей и зависимости между ними выводят в качестве теорем.

Определение: Вероятностное пространство — это математическая модель случайного эксперимента (опыта) в аксиоматике А. Н. Колмогорова.

Вероятностное пространство содержит в себе всю информацию о свойствах случайного эксперимента, необходимую для его математического анализа средствами теории вероятностей. Любая задача теории вероятностей решается в рамках некоторого вероятностного пространства, полностью заданного изначально.

Задачи, в которых вероятностное пространство задано не полностью, а недостающую информацию следует получить по результатам наблюдений, относятся к области математической статистики.

1.9. Алгебра событий.

Определение: Два события A и B называют равными и пишут A = B, если наступление события A влечёт за собой наступление события B, и, наоборот, наступление события B влечёт за собой наступление события A.

Пример: Брошены две игральные кости. Событие A – сумма выпавших на костях очков чётная, событие B – на костях чётности очков совпадают (т.е. на обеих костях выпало либо чётное, либо нечётное). Следовательно, A = B.

Определение: Объединением (или суммой) событий A и B называется событие, состоящее в наступлении события A или события B, или обоих этих событий.

Обозначается: или A + B. В случае объединения нескольких событий:

или A₁ + A₂ + … + A_k

Определение: Пересечением (или произведением) событий A и B называется событие, состоящее в одновременном наступлении как события A, так и события B.

Обозначается: или A·B. В случае объединения нескольких событий:

или A₁ · A₂ · …· A_k

Определение: Разностью событий A и B называется событие С, состоящее в том, что наступает событие A, но не наступает событие B.

С = A\B.

Определение: Противоположными называются два единственно возможных события, образующих полную группу.

Ā – событие, противоположное событию A.

Определение: Множество всех элементарных событий, которые могут появиться в испытании, называется пространством элементарных событий Ω:

Определение: Пространство элементарных событий Ω вместе с алгеброй событий F и вероятностью Р образует тройку (Ω, F, P), которая называется вероятностным пространством.

Определение: Если множество элементарных исходов Ω конечно или счетно, то соответствующее вероятностное пространство называется дискретным.

Напомним, что в теории множеств, счётное множество есть бесконечное множество, элементы которого возможно пронумеровать натуральными числами.

Дата добавления: 2014-12-27