Теоремы сложения вероятностей

Теорема 1: Вероятность суммы конечного числа несовместных событий A₁, A₂, …, A_n равна сумме вероятностей этих событий:

Доказательство: Докажем это равенство для суммы двух событий A₁+A₂, где A₁ и A₂ – несовместны.

Пусть событию A₁ благоприятствует m₁ элементарных исходов, а событию A₂ – m₂ элементарных исходов. Т.к. A₁ и A₂ – несовместны (A₁ ∩ A₂=Ø), то событию A₁+A₂ благоприятствует m₁+m₂ элементарных исходов из общего числа n исходов. Тогда, получаем:

Для произвольного числа попарно несовместных событий доказательство проводится методом математической индукции.

Пример: Для отправки груза со склада может быть выделена одна из двух машин различного вида. Известны вероятности выделения каждой машины: P(A₁) = 0,2; P(A₂) = 0,4.

Тогда вероятность того, что к складу будет подана одна из этих машин, равна P(A₁+A₂) = 0,2 + 0,4 = 0,6.

Теорема 2: Сумма вероятностей попарно несовместных событий A₁, A₂, …, A_n, образующих полную группу, равна единице:

Доказательство: Т.к. появление одного из событий полной группы достоверно, а вероятность достоверного события равна единице, то P(A₁+A₂+…+A_n) = 1. Любые два события полной группы несовместны, тогда (по теореме 1) имеем:

Пример: Консультационный пункт института получает пакеты с контрольными работами из городов A, B и C. Вероятность получения пакета из города A равна 0,7, из города B – 0,2. Найти вероятность того, что очередной пакет будет получен из города C.

Решение: События «пакет получен из города A», «пакет получен из города B», «пакет получен из города C» образуют полную группу, следовательно:

0,7 + 0,2 + p = 1 => p = 1 – 0,9 = 0,1.

Теорема 3: Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

P(A) + P(Ā) = 1.

Доказательство: События A и Ā образуют полную группу, следовательно, по теореме 2 имеем:

Заметим, что при вычислении P(A) удобнее бывает вычислить P(Ā) и применить формулу:

Пример: В ящике находится 10 деталей, из которых 6 стандартных. Найти вероятность того, что среди четырех, наудачу извлечённых деталей, есть хоть одна стандартная.

Решение: Пусть событие A – «среди извлечённых деталей есть хоть одна стандартная». Тогда событие Ā – «среди извлечённых деталей нет ни одной стандартной».

Дата добавления: 2014-12-27