Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Экспериментов




Условные вероятности, независимость событий и

1.11.1. Теоремы умножения вероятностей.

Определение: Условной вероятностью PA(B) (или P(B/A)) называют вероятность события B, вычисленную в предположении, что событие A уже наступило.

Определение: Условной вероятностью P(B/AC) относительно произведения событий A и C называется вероятность наступления события B при условии, что A и C уже наступили.

Пример: В урне 3 белых и 5 чёрных шаров. Из урны вынимают один шар, а затем второй. Первый шар оказался чёрным. Найти вероятность того, что второй шар будет:

а) белым,

b) чёрным.

Решение: а) P(A/B) – второй шар будет белым, при условии, что первый – чёрный:

b) P(C/B) – второй шар будет чёрным, при условии, что первый – чёрный:

Теорема 1: Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое уже произошло:

Доказательство: Пусть из n возможных элементарных исходов событию A благоприятствует m исходов, из которых k исходов благоприятствует событию B. Тогда:

, т.к. событию AB благоприятствуют те исходы, которые одновременно благоприятствуют и событию A, и событию B, т.е. k.

Аналогично доказывается и формула

Следствие: Для вероятности большего числа событий справедлива формула:

Доказательство проводится методом математической индукции.

Пример: На склад поступило 35 холодильников. Известно, что 5 холодильников с дефектами, но неизвестно, какие именно. Найти вероятность того, что два холодильника, взятых наугад, будут с дефектами.

Решение: Пусть событие A – «первый выбранный холодильник с дефектом», событие B – «второй выбранный холодильник с дефектом». Тогда получаем:

Определение: Если при наступлении события A вероятность события B не меняется, то события A и B называются независимыми.

Пример: Два стрелка стреляют по мишени. Событие A – «первый стрелок попал в мишень», событие B – «второй стрелок попал в мишень (промахнулся)». События A и B – независимые.

Теорема 2: Если события A и B – независимые, то вероятность их произведения равна произведению их вероятностей:

Доказательство: Так как события A и B независимы, то условная вероятность события А равна его безусловной вероятности:

Тогда по теореме 1 получаем:

Следствие: Если события A1, A2, …, An – независимы, то вероятность их произведения равна произведению их вероятностей:

Доказательство проводится методом математической индукции.

Заметим, что если события и независимы, то независимы также события: и , и B, и .

Определение: Несколько событий называются независимыми, если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных.

Пример: Найти вероятность появления «орла» при однократном бросании трех монет.

Решение: Пусть событие A1 – «орёл на первой монете», событие A2 – «орёл на второй монете», событие A3 – «орёл на третьей монете».

События A1, A2, A3 – независимые, следовательно:

Теорема 3: Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

P( + ) = P( ) + P( B) - P( ).

Доказательство: Событие (A+B) наступит, если наступит одно из трёх несовместных событий: , B,

Тогда по теореме о вероятности суммы конечного числа несовместных событий, получаем:

P ( + ) = P () + P ( B) + P (). (1)

Событие наступит, если наступит одно из двух несовместных событий: или . Тогда имеем:

P () = P () + P (),

P () = P () - P ().

Аналогично, получаем:

P (B) = P ( B) + P (),

P ( B) = P (B) - P ().

Подставим эти результаты в формулу (1) и получим:

P ( + ) = P () + P ( B) - P ().

Пример: Если вероятность поступления в магазин одного вида товара Р(А)=0,4, а второго вида товара – Р(В)=0,5, и если допустить, что эти события независимы, но совместны, то вероятность суммы событий равна:

Р(А+В)= 0,4 + 0,5 - 0,4 0,5 = 0,7.

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-12-27; Просмотров: 1054; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.008 сек.