Расчет цепей с помощью законов Кирхгофа

Наиболее часто встречаются задачи, когда известны все сопротивления, источники тока и ЭДС, а требуется определить все токи в ветвях разветвленной цепи.

Последовательность расчета следующая:

- произвольно задают положительные направления токов в ветвях;

- обозначают направления обхода контуров;

- записывают уравнения по первому и второму законам Кирхгофа;

- решают уравнения;

- проверяют правильность расчета, составляя энергетический баланс.

Если в цепи имеется x ветвей и у узлов, в том числе x_i ветвей с источниками токов, то необходимо составить x–x_i уравнений для определения токов во всех ветвях. При этом число уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, равно у– 1, по второму закону Кирхгофа – x–x_i–(у– 1 ).

Для проверки правильности расчетов определяют сумму мощностей, генерируемых источниками, и сравнивают ее с суммой мощностей всех потребителей:

. (2.1)

Слагаемые I ² R всегда положительны, а слагаемые EI берут со знаком минус, когда направления E и I встречные. Если баланс не получается, то токи определены неправильно.

Для электрических цепей с большим числом ветвей при составлении уравнений по второму закону Кирхгофа возможно получение зависимых уравнений. Чтобы этого не случилось, необходимо ввести в каждое уравнение какую-либо новую ветвь. Проще всего это сделать, используя теорию графов. Граф содержит столько вершин, сколько в схеме узлов, а вершины графа соединяются ветвями так же, как соединены узлы в схеме. Для расчета вначале рисуют дерево графа, соединяя все узлы цепи ветвями так, чтобы не образовывалось контуров (возможно несколько вариантов таких соединений). Затем поочередно дорисовывают недостающие ветви (их называют хордами). При этом будут каждый раз образовываться контуры. Для каждого такого контура записывают уравнение по второму закону Кирхгофа. В качестве примера, на рис. 2.3, а представлена схема электрической цепи, на рис. 2.3, б – дерево графа, на рис. 2.3, в – пунктиром проведены хорды и стрелками показаны образованные контуры.

П р и м е р 2.1. Определить токи в ветвях схемы, приведенной на рис. 2.4, если E ₁=110 В, Е ₂=64 В, J =4 А; R ₁=6 Ом, R ₂=4 Ом, R ₃=3 Ом; R ₄=1 Ом.

Р е ш е н и е. Задаем положительные направления токов в ветвях (рис. 2.4) и направления обхода в контурах. Определяем, что число ветвей х =5, в том числе с источником тока х_i =1, а число узлов в схеме у= 3(в узле «с» сходятся 4 ветви).

2. По первому закону Кирхгофа составляем два уравнения (например, для узлов a и b)

I ₁ +I ₂– I ₃=0, I ₃ +J–I ₄=0.

При этом ток источника тока считаем, как известный ток в соответствующей ветви.

3. По второму закону составляем x–x_i –(у –1)=5–1–2=2 уравнения: для левого контура I ₁ R ₁ –R₂I ₂= E ₁ +E ₂, для центрального контура I ₂ R ₂ +I ₃ R ₃ +I ₄ R ₄= –E ₂.

При этом слагаемые берем со знаком плюс, если направление тока или ЭДС совпадает с направлением обхода контура, и со знаком минус, если не совпадает. Контур с источником тока J образовывать нельзя, так как в него должно быть включено бесконечно большое сопротивление источника тока J.

4. Решая полученную систему уравнений I ₁ +I ₂– I ₃=0, I ₃+4– I ₄=0, 6 I ₁–4 I ₂=110+64, 4 I ₂+3 I ₃ +I ₄= =–64, определяем I ₁=17,5 А; I ₂=–17,25 А; I ₃=0,25 А; I ₄= 4,25 А.

5. Определяем суммарную мощность, выделяющуюся в сопротивлениях Вт.

Определяем суммарную мощность, генерируемую источниками:

Вт.

Перед слагаемыми E ₂ I ₂поставлен знак минус потому, что ток I ₂и ЭДС E ₂направлены встречно. При подстановке значения тока I ₂= –17,25Аполучается положительная мощность, генерируемая вторым источником.

Так как суммарные мощности, генерируемые источниками, оказались равны суммарным мощностям потребителей, т.е. P_u = P = =3046Вт, то токи в ветвях определены правильно.

Дата добавления: 2014-12-27