При сложной форме напряжения

Применение интеграла Дюамеля

В линейных электрических цепях ток в любой ветви может быть представлен в виде произведения напряжения на входе цепи на входную g_kk или взаимную g_kn проводимость:

i_k=U_ng_kn.

При подключении цепи под постоянное напряжение это соотношение также имеет силу. При этом и ток, и эта проводимость будут являться функциями времени, т. е.

i_k (t) =U_ng_kn (t),

где g_kn (t) – переходная проводимость.

В общем случае переходная проводимость g_kn(t) определяется как отношение переходного тока в k -й ветви к напряжению в n -й ветви при отсутствии источников в остальных ветвях:

(5.10).

Аналогично напряжение на некотором участке цепи во время переходного процесса является также функцией времени и пропорционально воздействующему напряжению:

u_ab (t) =Uk (t),

где k (t) – переходная функция, определяемая как отношение напряжений U_ab и U при отсутствии в цепи других источников. Обычно для определения g (t) и k (t) используют постоянное напряжение U= 1 В.

Переходную проводимость g (t) и переходную функцию напряжения k (t) называют временными характеристиками цепи h (t). Их используют, например, для определения тока или напряжения на участке цепи при включении этой цепи под напряжение сложной формы.

Пусть к цепи с нулевыми начальными условиями и известной переходной проводимостью g (t) подключается напряжение u (t) (рис. 5.15, а). Чтобы определить ток в цепи в момент времени t, заменим плавную кривую ступенчатой и просуммируем токи от начального напряжения u (0) и от всех ступенек напряжения, вступающих в действие с запозданием во времени:

i (t) =u (0) g (t)+S u ¢(t)D t × g (t–t –D t),

где каждая ступенька приращения напряжения определяется следующим образом:

.

Заменяя конечный интервал времени Dt на бесконечно малый dt и переходя к интегралу, получим

.

Эту формулу называют интегралом Дюамеля. С ее помощью можно определить переходное напряжение на некотором участке цепи, если вместо переходной проводимости g (t) использовать переходную функцию напряжения h (t).

Рис. 5.15. К выводу интеграла Дюамеля (а), напряжение, изменяющееся

по сложному закону (б)

Если входное напряжение изменяется по более сложному закону – скачком в определенные моменты времени (рис. 5.15, б), то ток определяют как сумму токов от всех напряжений, воздействующих на цепь до момента времени t.

Для момента времени t ₁< t < t ₂

.

Для времени t > t ₂

П р и м е р 5.10. Определить ток в индуктивной катушке (R_k =0,5 Ом, L_k =1 Гн) через 5 спосле подключения ее под напряжение, изменяющееся по сложному закону (рис. 5.15, б), если u ₁(t)=150–100 e^{– 0.25 t} действует до времени t ₁=4 с, а – до времени t ₂ = 6 с.

Р е ш е н и е. 1. Определяем переходную проводимость g (t). Для этого определим ток в цепи RL при подключении ее под постоянное напряжение U= 1 В. Ранее было показано (см. подключение цепи RL под постоянное напряжение)

.

2. Определим производные напряжений

.

3. Определяем закон изменения тока в общем виде для t ₁ <t<t ₂

4. Подставляем в полученное выражение t ₁=4 с, t =5 с и получаем i= 201,4 A.

Дата добавления: 2014-12-27