Расчет цепей операторным методом

Дифференциальное уравнение последовательной цепи RCL при подключении под постоянное напряжение имеет вид

.

Используя преобразование Лапласа для каждого слагаемого, запишем это уравнение в операторной форме:

,

или ,

где Z(p)=R+pL+1/pC – операторное сопротивление цепи, а

– закон Ома в операторной форме.

Аналогично запишем уравнение Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений

Используя преобразования Лапласа для каждого слагаемого, запишем эти уравнения в операторной форме:

.

В полученных уравнениях, наряду с действующими внешними источниками ЭДС, появились слагаемые, учитывающие начальные условия . Их иногда называют внутренними ЭДС и изображают на операторных схемах замещения цепи при расчете переходных процессов. При этом их направления совпадают с положительными направлениями токов в ветвях схемы, но величина Li (0) – положительна, а – отрицательна (рис. 5.16, б).

Отметим, что вместо системы интегрально-дифференциальных уравнений для мгновенных значений токов и напряжений получена система алгебраических уравнений в операторной форме. Решая ее, определим изображения искомых токов и напряжений.

Переход от изображений к оригиналам можно выполнить, используя соответствующие таблицы или применяя формулу разложения. Если , то

где ;

обычно m ≥ n;

p_k – корни уравнения М(р) =0;

М¢(р) – производная от знаменателя.

Если один из корней равен 0, то слагаемое – равно принужденной составляющей, обусловленной постоянной ЭДС.

Если среди корней получается пара комплексно-сопряженных корней, то соответствующее им слагаемое в изображении будет гармонической функцией. При р _1,2= – d + jw

.

П р и м е р 5.11. Определить ток i ₁(t)при переходном процессе в схеме (рис. 5.16, а),если U =125 В, R ₁=50 Ом, R ₂=200 Ом, R ₃=250 Ом, L =10 мГн, С =5 мкФ.

Р е ш е н и е. 1. Зададим положительное направление токов и определим значение тока через индуктивность L ₁(0_–) и напряжение на конденсаторе u_C (0_–) до коммутации

2. Начертим операторную схему замещения для схемы, получившейся после коммутации, в которой, кроме внешнего источника, появятсявнутренние источники ЭДС (рис. 5.16, б) Li ₁(0) и , учитывающие начальные условия.

Рис. 5.16. Схемы электрической цепи к примеру 5.11: а – исходная;

б – операторная

3. Составим уравнения по законам Кирхгофа для схемы рис. 5.16, б, чтобы определить изображения токов:

Решая систему уравнений, определим

.

Подставив числовые значения, получим

.

Приравняв знаменатель нулю M (p)=0, определим корни р ₁=0, р _2,3= –3000± j 4000 c^–1.

Определим производную выражения, стоящего в знаменателе,

M ¢(p) = 3×10^–5 p ² + 0.12 p+ 250.

Рассчитаем оригинал тока i ₁ (t)

Дата добавления: 2014-12-27