Передаточные функции и временные характеристики

Под передаточной функцией четырехполюсника К(р) на комплексной частоте понимают отношение выходного напряжения U ₂ (p) ко входному U ₁ (p) (рис. 5.17, а):

. (5.11)

К(р) зависит от схемы четырехполюсника, числового значения элементов схемы и от частоты р. Для четырехполюсника (рис. 5.17, б) Из уравнения (5.11) следует, что

U ₂ (p) = К(р) U ₁ (p) (5.12)

Под комплексной передаточной функцией четырехполюсника для синусоидального процесса на частоте ω понимают отношение

; (5.13)

K(jω) получают из К(р) заменой р на jω.

Если несколько четырехполюсников, например три, соединены каскадно (рис. 5.18, б) и известны передаточные функции каждого четырехполюсника, то передаточная функция каскада в соответствии с формулой (5.12) равна произведению передаточных функций этих четырехполюсников:

К(р)= К ₁ (р) К ₂ (р) К ₃ (р). (5.14)

Более общей характеристикой является операторная или обобщенная частотная характеристика, определяемая как отношение операторного изображения реакции цепи к операторному изображению внешнего воздействия. Для перехода от операторной характеристики цепи к ее комплексной частотной характеристики достаточно в уравнениях заменить p на jω. Как и комплексные частотные характеристики, операторные характеристики делятся на входные и передаточные.

Кроме передаточных функций при анализе цепей используют временные характеристики, к которым относятся переходные и импульсные переходные характеристики.

Переходные характеристики цепи h (t) (переходная проводимость g(t) и переходная функция напряжения k (t)) определяются обычно как ток или напряжение при подключении цепи под напряжение, равное 1 В. Можно применить более общее определение.

Переходные характеристики цепи можно определять через специальные функции: единичную функцию 1(t) и дельта-функцию δ(t).

Единичной функцией 1(t) (рис. 5.19, б) называют функцию, равную единице при t > 0 и равную 0 при t < 0. Единичной функцией 1(– t) (рис. 5.19, в) называют функцию, равную –1 при t <0 и равную 0 при t > 0. Функции 1(t) и 1(– t) имеют нулевую размерность.

Еще одной значимой функцией является единичный импульс δ (t) (рис. 5.19, а),или дельта-функция, под которымипонимают короткий импульс амплитудой 1/ Δτ, длительностью Δτ →0, действующий от t = – Δτ /2 до t = Δτ /2. Единичным его называют потому, что площадь импульса равна единице. Единицей измерения δ -функции является секунда в минус первой степени. Если импульс действует при некотором времени t= t ₁, то он обозначается как δ(t– t ₁) т.е. импульс действует, когда аргумент δ- функции равен нулю.

Если на электрическую цепь, входная проводимость которой равна g (t), при нулевых начальных условиях воздействует единичный импульс напряжения δ (t) =1 Вс (рис. 5.19, а), то реакция цепи представляет собой импульсную переходную проводимость

.

Аналогично определяется импульсная переходная функция напряжения . В общем случае величину называют импульсной переходной функцией четырехполюсника. При t > Δτ (Δτ→ 0) h '(t) умноженная на 1 Вс, численно равна напряжению на выходе четырехполюсника при воздействии на его вход единичного импульса напряжения δ (t)1 Вс. В интервале времени от t = – Δτ /2 до t = Δτ /2 (во время действия импульса δ (t)1 Вс) напряжение на выходе четырехполюсника u ₂(t)= h (0) δ(t)∙ 1+ h '(t)∙1,

а ток на входе двухполюсника i (t)= g (0) δ(t)∙ 1+ g '(t)∙1.

Переходные и импульсные характеристики объединяются более общим понятием «временные характеристики» (в отличие от операторных).

Подчеркнем, что в литературе по переходным процессам в зависимости от рассматриваемого вопроса под одним и тем же названием – импульсная переходная функция – понимают функцию либо h'(t), либо h^δ(t). Между этими функциями имеется зависимость

h^δ(t)= h( 0₊ ) δ(t)+ h'(t);

h'(t) характеризует реакцию четырехполюсника (его выходное напряжение) после окончания воздействия на его вход единичным импульсом напряжения 1∙ δ (t) В∙с, a h^δ(t) –напряжение на выходе четырехполюсника и во время действия импульса, и после окончания.

Аналогичные соотношения существуют между импульсными переходными проводимостями

g^δ(t)= g( 0₊ ) δ(t)+ g'(t)

при воздействии на вход схемы единичным импульсом тока. С помощью h^δ (t) интеграл Дюамеля запишется так:

Здесь h^δ(t –τ) = h( 0 ) δ(t–τ)+ h'(t–τ).

Формулу интеграла Дюамеля в математических работах называют формулой свертки двух функций, в данном случае функций u(t) и h^δ(t).

Определение h(t) и h^δ(t) через К(р). Как упоминалось, при воздействии на вход четырехполюсника единичного напряжения u ₁(t) = 1(t) напряжение на выходе его u ₂ (t) = h(t). Если это положение записать относительно изображений, учитывая, что 1(t)↔1/p и обозначив изображение h(t) через Н(р), то Н(р)= К(р)/р. Отсюда

К(р) = р H(р).

Определим теперь h(t) через К(р). Так как h(t) ↔ H(p), а Н(р) определено предыдущей строкой, то

При воздействии на вход четырехполюсника единичным импульсом напряжения u ₁(t)=1 δ(t)=∙ 1= U ₁(p),напряжение на его выходе

u ₂(t)= h^δ(t) «U ₁(p) K(p)=∙ 1 K (p).

Таким образом,

h^δ(t)↔ K (p).

Дата добавления: 2014-12-27