КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Решение игры в смешанных стратегиях
Теорема 3. Для того чтобы смешанные стратегии и были оптимальными в игре с матрицей (7.1) и ценой игры u, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие неравенства: ³ u; j = , причем = 1; (7.3) £ u; i = , причем = 1. (7.4)
Нахождение оптимальной стратегии можно свести к решению задачи линейного программирования. Пусть требуется найти оптимальные стратегии для игры с заданной платежной матрицей (7.1), для которой aij строго больше нуля (аij >0, i= ,j = ), тогда цена игры u > 0. Найдем оптимальную стратегию игрока А – (). Разделим левую и правую части в выражении (7.3) на положительную величину u: ³ 1; = . Введем обозначение = Хi, тогда Хi ³ 1; j = ; = . Поскольку игрок А стремится сделать свой гарантированный выигрыш (u) как можно большим (u ® max), то величина должна быть как можно меньше (u ® min), тогда имеем следующую задачу линейного программирования: f(x) = ® min, (7.5) Хi ³ 1; j = , (7.6) Хi ³ 0; i = . (7.7)
Если Х* = (, ,… … ) – оптимальный план задачи (7.5) – (7.7), а минимум функции f(x) = f(x*) = f*, то цена игры u при этом составит u = , а т.к. = Хi, тогда = (u × ,… u × ) = (,… ) – оптимальная смешанная стратегия игрока А. Для игрока В используя выражение (7.4), получим g(y) = ® max. yj £ 1, i = . yj ³ 0; j = . Решение игры u = ; = (u × ,… u × ) = (,… ).
Пример. Найти оптимальные смешанные стратегии игры, заданной следующей платежной матрицей:
Сведем данную задачу к задаче линейного программирования. Найдем оптимальную стратегию игрока А – (): f(x) = X1 + X2 ® min.
X1 + 8X2 ³ 1, 10X1 + 4X2 ³ 1, 3X1 + 5X2 ³ 1,
X1, X2 ³ 0.
f(x) = 0,21; X1 = 0,026; X2 = 0,184, отсюда u = = 4,76; P1 = 4,76 × 0,026 = 0,124; P2 = 4,76 × 0,184 = 0,876. Найдем оптимальную стратегию игрока В – (): g(y) = y1 + y2 + y3 ® max. y1 + 10y2 + 3y3 £ 1, 8y1 + 4y2 + 5y3 £ 1, y1, y2 , y3 ³ 0.
g(y) = 0,21; y1 = 0; y2 = 0,0526; y3 = 0,158,
отсюда q1 = 0; q2 = 4,76 × 0,0526 = 0,25; q3 = 4,76 × 0,158 = 0,75.
Таким образом, применяя свою первую чистую стратегию с вероятностью 0,124 и вторую – с вероятностью 0,876, игрок А выигрывает величину 4,76. Игрок В, применяя свою вторую чистую стратегию с вероятностью 0,25 и третью – с вероятностью 0,75, проигрывает величину 4,76, иначе он проигрывает больше.
Игра два на два (2 х 2) Рассмотрим игру, в которой у игроков А и В по две стратегии. Платежная матрица имеет вид
Рассмотрим случай, когда игра не имеет седловой точки. Теорема 4. Пусть и – оптимальные смешанные стратегии игры с платежной матрицей (7.1) и ценой игры u, тогда для любого i, при котором выполняется строгое неравенство qj < u, имеет место равенство pi = 0. А если pi > 0, то qj = u. Аналогично, если для некоторых j × pi > u, то для этих j qj = 0. А если qj > 0, то × pi = u. Определим оптимальную смешанную стратегию игрока А, а для этого решим систему трех уравнений с тремя неизвестными а11 × p1 + а21 × p2 = u, а12 × p1 + а22 × p2 = u, p1 + p2 = 1. Решив следующую систему, найдем оптимальную стратегию игрока В: а11 × q1 + а12 × q2 = u, а21 × q1 + а22 × q2 = u, q1 + q2 = 1.
Рассмотрим первую систему. Вычитая из первого равенства второе, получая (а11 - а12) × p1 + (а21 - а22) × p2 = 0.
Подставим P2 = 1 – P1, тогда (а11 – а12) × p1 + (а21 – а22) (1– p1 ) = 0, отсюда оптимальная смешанная стратегия для игрока А – S*(p1, p2) это – хорошо P1 = (а22 – а21)/(а11 – а12 + а22 – а21), P2 = 1– P1 = (а11 – а12)/(а11 – а12 + а22 – а21). цена игры u = (а11 × а22 – а21 × а12)/(а11 – а12 + а22 – а21). Рассуждая аналогично, для определения оптимальной стратегии игрока В получая q1 = (а22 – а12)/(а11 – а12 + а22 – а21),
q2 = (а11 – а21)/(а11 – а12 + а22 – а21). Пример. Имеются две конкурирующие фирмы А и В, выпускающие изделия двух модификаций. Изучение спроса покупателей показало, что если выпускаются изделия первой модификации обеими фирмами, А1 и В1, то 40 % покупателей предпочитают изделия фирмы А и 60 % - фирмы В. Если выпускаются изделия А1 и В2, то 90 % покупателей приобретают изделия А. Если изготавливаются изделия А2 и В1, будет продано 70 % изделий фирмы А. Наконец, если выпускаются изделия второй модификации А2 и В2 обеими фирмами, то 20 % покупателей предпочитают изделия фирмы А. Решение. Представим выигрыш фирмы А в табличной форме а11 = 40 % - 60 % = -20 %; а12 = 90 % - 10 % = 80 %; а21 = 70 % - 30 % = 40 %; а22 = 20 % - 80 % = -60 %.
Нижняя цена игры составляет (-20), верхняя равна 40. Игра не имеет седловой точки. Найдем оптимальные смешанные стратегии p1 = (-60 - 40)/(-20 –80-60-40) = ; p2 = ; u = [-20 × (-60)- 40 × 80]/ (-20 –80-60-40) = 10; q1 = (-60 - 80)/(-20 –80-60-40) = ; q2 = . Выигрыш фирмы А в соответствии с ценой игры составит 10 %. Следовательно, предпочтение покупателей можно выразить как А – В = 10 %, но А + В = 100 %, тогда А = 55 %; В = 45 %. Следовательно, при таких оптимальных стратегиях изделия фирмы А будут покупать 55 % потребителей, а фирма В – 45 % потребителей.
Дата добавления: 2014-12-27; Просмотров: 446; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |